calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 3.5 DERIVACIÓN IMPLÍCITA |||| 207
y
y=P(x)
h
(iii) El valor absoluto de la aceleración vertical no debe sobrepasar una constante k (la cual es mucho
menor que la aceleración debida a la gravedad).
1. Encuentre un polinomio cúbico Px ax 3 bx 2 cx d que satisfaga la condición (i), imponiendo
condiciones adecuadas sobre Px y Px en el inicio del descenso y el contacto con
la pista.
2. Use las condiciones (ii) y (iii) para demostrar que
0
x
6hv 2
k
2
3. Suponga que una aerolínea comercial decide no permitir que la aceleración vertical de un avión sea
mayor que k 860 mi/h 2 . Si la altitud de crucero de un avión es de 35 000 pies y la rapidez de 300
mi/h, ¿a qué distancia del aeropuerto debe el piloto iniciar el descenso?
; 4. Trace la gráfica de la trayectoria de aproximación, si se satisfacen las condiciones que se
enuncian en el problema 3.
3.5
DERIVACIÓN IMPLÍCITA
La mayor parte de las funciones vistas pueden describirse expresando una variable explícitamente
en términos de otra variable; por ejemplo,
y sx 3 1
o bien
y x sen x
o, en general, y f x. Sin embargo, algunas funciones se definen implícitamente por
medio de una relación entre x y y como
1
x 2 y 2 25
o bien
2
x 3 y 3 6xy
En algunos casos, es posible resolver una ecuación de ese tipo para y como una función
explícita (o varias funciones) de x. Por ejemplo, si resuelve la ecuación 1 para y, obtiene
y s25 x 2 , de modo que dos de las funciones determinadas por la ecuación
implícita 1 son f x s25 x 2 y tx s25 x 2 . Las gráficas de f y t son las semicircunferencias
superior e inferior de la circunferencia x 2 y 2 25. (Véase la figura 1.)
y
y
y
0 x
0 x
0 x
FIGURA 1
(a) ≈+¥=25
(b) ƒ=œ„„„„„„ 25-≈
(c) ©=_œ„„„„„„ 25-≈
No es fácil resolver a mano la ecuación 2 para y explícitamente como función x. (Con
un sistema algebraico para computadora no hay dificultad, pero las expresiones que se