calculo-de-una-variable-1

144 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
y
Q{x, ƒ}
ƒ-f(a)
P{a, f(a)}
x-a
0 a x
x
pendiente m. (Esto equivale a decir que la recta tangente es la posición límite de la recta secante
PQ cuando Q tiende a P. Véase la figura 1.)
1 DEFINICIÓN La recta tangente a la curva y fx en el punto Pa, fa es la
recta que pasa por P con pendiente
cuando el límite existe.
m lím
x l a
f x f a
x a
y
P
t
Q
Q
Q
En el primer ejemplo, se confirma la suposición hecha en el ejemplo 1 de la sección
2.1.
V EJEMPLO 1 Encuentre una ecuación de la recta tangente a la parábola y x 2 , en el
punto P1, 1.
SOLUCIÓN En este caso, a 1 y fx x 2 , de modo que la pendiente es
0 x
m lím
x l1
f x f 1
x 1
lím
x l1
x 2 1
x 1
FIGURA 1
lím
x l1
x 1x 1
x 1
lím
x l1
x 1 1 1 2
& Forma punto-pendiente para una recta que
pasa por el punto x 1, y 1 con pendiente m:
y y 1 mx x 1
Con la forma punto-pendiente de la ecuación de una recta, se encuentra que una ecuación
de la recta tangente en 1, 1 es
y 1 2x 1 o bien y 2x 1
TEC Visual 2.7 muestra una animación
de la figura 2.
A veces se hace referencia a la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto
como la pendiente de la curva en el punto. La idea es que si se acerca lo suficiente al
punto, la curva parece una línea recta. En la figura 2 se ilustra este procedimiento para la
curva y x 2 del ejemplo 1. Entre más se acerque, la parábola más parece una recta. En
otras palabras, la curva casi se vuelve indistinguible de su recta tangente.
2
1.5
1.1
(1, 1)
(1, 1)
(1, 1)
0 2
0.5 1.5
0.9 1.1
FIGURA 2 Acercamiento hacia el punto (1, 1) sobre la parábola y=≈
Existe otra expresión para la pendiente de la recta tangente que a veces es más fácil de usar.
Si h x a, en este caso x a h y así la pendiente de la línea secante PQ es
m PQ
fa h fa
h