calculo-de-una-variable-1

PROBLEMAS ADICIONALES
y
O
y
O
PROBLEMAS
P{t, sen(t@)}
y=sen{≈}
A(t)
t x
P{t, sen(t@)}
B(t)
t x
1. Si x sen x y x 2
f t dt , donde f es una función continua, encuentre f(4).
2. Encuentre el valor mínimo del área bajo la curva y x 1/x desde x a hasta x a 1.5
para toda a 0.
3. Si f es una función derivable tal que f(x) nunca es 0 y ft dt [fx] 2 para toda x,
0
encuentre f.
; 4. (a) Trace la gráfica de varios miembros de la familia de funciones f(x) (2cx x 2 )c 3 para
c 0 y vea las regiones limitadas por estas curvas y el eje x. Haga una conjetura en cuanto
a cómo se relacionan las áreas de estas regiones.
(b) Pruebe su conjetura del inciso (a).
(c) Vea de nuevo las gráficas del inciso (a) y úselas para trazar la curva descrita por vértices (los
puntos más altos) de la familia de funciones. ¿Puede conjeturar qué tipo de curva es ésta?
(d) Halle una ecuación para la curva que trazó en el inciso (c).
5. Si f x y tx 1
, donde tx y cos x
1 sent 2 dt , encuentre f 2.
0 s1 t dt 3 0
6. Si f x x x x 2 sent 2 dt , halle f x.
0
1
7. Evalúe lím 1 tan 2t 1t dt.
x l 0 x yx 0
8. En la figura se pueden ver dos regiones en el primer cuadrante: At es el área bajo la curva
y senx 2 desde 0 hasta t, y Bt es el área del triángulo con vértices O, P y t, 0. Calcule
lím t l 0 AtBt.
9. Encuentre el intervalo a, b para el cual el valor de la integral x b 2 x x 2 dx es un
a
máximo.
10. Utilice una integral para estimar la suma si.
x n 0
x b a
11. (a) Evalúe x dx, donde n es un entero positivo.
(b) Calcule x dx, donde a y b son números reales con 0 a b.
d 2
0
10 000
i1
12. Encuentre y x
y sen t
s1 u .
dx 2 4 dudt
0 1
13. Suponga que los coeficientes del polinomío cúbico Px a bx cx 2 dx 3 satisfacen la
ecuación.
y x
a b 2 c 3 d 4 0
FIGURA PARA EL PROBLEMA 8
2
2
2
2
FIGURA PARA EL PROBLEMA 16
Demuestre que la ecuación Px 0 tiene una raíz entre 0 y 1. ¿Puede generalizar este resultado
para un polinomio de grado n-ésimo?
14. En un evaporador se usa un disco circular y se hace girar en un plano vertical. Si debe estar
parcialmente sumergido en el líquido de modo que se maximice el área humedecida expuesta
del disco, demuestre que el centro de éste debe hallarse a una altura rs1
2
arriba de la
superficie del líquido.
15. Demuestre que si f es continua, entonces f ux u du y x
f t dt du.
y x
0
y u
0 0
16. En la figura se muestra una región que consta de todos los puntos dentro de un cuadrado que
están más cerca del centro que de los lados del cuadrado. Encuentre el área de la región.
1
17. Evalúe lím
.
n l
snsn 1 1
snsn 2 1
snsn n
18. Para cualquier número c, permita que f c(x) sea el más pequeño de los dos números (x c) 2 y
(x c 2) 2 . En tal caso, defina tc y 1
f c x dx. Hallar los valores máximo y mínimo de
0
t(c) si 2 c 2.
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