calculo-de-una-variable-1

596 |||| CAPÍTULO 9 ECUACIONES DIFERENCIALES
COMPARACIÓN DEL CRECIMIENTO NATURAL Y MODELOS LOGÍSTICOS
En la década de 1930, el biólogo G. F. Gause realizó un experimento con el protozoario
Paramecium y empleó una ecuación logística para representar sus datos. En la tabla se da
la cuenta diaria de la población de protozoarios. Estimó la rapidez de crecimiento relativo
inicial como 0.7944 y la capacidad de soporte como 64.
t (días) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
P (observada) 2 3 22 16 39 52 54 47 50 76 69 51 57 70 53 59 57
V EJEMPLO 3 Encuentre los modelos exponencial y logístico para los datos de Gause.
Compare los valores predichos con los valores observados y comente acerca del ajuste.
SOLUCIÓN Dada la rapidez de crecimiento relativo k 0.7944 y la población inicial P 0 2, el
modelo exponencial es
Pt P 0 e kt 2e 0.7944t
Gause empleó el mismo valor de k para su modelo logístico. [Esto es razonable porque
P 0 2 es pequeña comparada con la capacidad de soporte ( K 64). La ecuación
1
P 0
dP
dt
k1 2 k
t0 64
muestra que el valor de k para la ecuación logística es muy cercano al valor para el modelo
exponencial.]
En consecuencia la solución de la ecuación logística en la ecuación 7 da
Pt
K
1 Ae kt
64
1 Ae 0.7944t
donde
Por consiguiente,
A K P 0
64 2 31
P 0 2
Pt
64
1 31e 0.7944t
Se emplean estas ecuaciones para calcular los valores predichos (redondeados hasta el
entero más próximo) y se comparan en la tabla.
t (días) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
P (observada) 2 3 22 16 39 52 54 47 50 76 69 51 57 70 53 59 57
P (modelo logístico) 2 4 9 17 28 40 51 57 61 62 63 64 64 64 64 64 64
P (modelo exponencial) 2 4 10 22 48 106 ...
Se observa de la tabla y la gráfica de la figura 4 que para los primeros tres o cuatro
días el modelo exponencial da resultados comparables a los del modelo logístico más
complejo. Sin embargo para t 5, el modelo exponencial es inexacto, pero el modelo
logístico ajusta las observaciones razonablemente bien.