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SECCIÓN 7.4 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES PARCIALES |||| 475
Un teorema en álgebra garantiza que siempre es posible hacer esto. Se explican los detalles
para los cuatro casos que ocurren.
CASO I & El denominador Qx es un producto de factores lineales distintos.
Esto significa que se puede escribir
Qx a 1 x b 1 a 2 x b 2 a k x b k
donde ningún factor se repite (y ningún factor es un múltiplo constante de otro). En este
caso, el teorema de fracciones parciales establece que existen constantes A 1 , A 2 ,..., A k
tales que
2
Rx
Qx A 1
a 1 x b 1
A 2
a 2 x b 2
A k
a k x b k
Estas constantes se pueden determinar como en el ejemplo siguiente.
V
x
EJEMPLO 2 Evalúe y
2 2x 1
.
2x 3 3x 2 2x dx
SOLUCIÓN Puesto que el grado del numerador es menor que el del denominador, no es
necesario dividir. El denominador se factoriza como
2x 3 3x 2 2x x2x 2 3x 2 x2x 1x 2
Puesto que el denominador tiene tres factores lineales distintos, la descomposición del
integrando (2) en fracciones parciales tiene la forma
3
x 2 2x 1
x2x 1x 2 A x
B
2x 1
C
x 2
& Otro método para hallar A,
B y C
se da en la nota después de este ejemplo.
Para determinar los valores A, B y C, se multiplican ambos lados de esta ecuación por el
producto de los denominadores, x2x 1x 2, y se obtiene
4
x 2 2x 1 A2x 1x 2 Bxx 2 Cx2x 1
Al desarrollar el lado derecho de la ecuación 4 y escribirlo en la forma estándar de polinomios,
se obtiene
5
x 2 2x 1 2A B 2Cx 2 3A 2B Cx 2A
Los polinomios de la ecuación 5 son idénticos, de modo que sus coeficientes deben
ser iguales. El coeficiente de x 2 en el lado derecho, 2A B 2C, debe ser igual al coeficiente
de x 2 en el lado izquierdo; a saber, 1. Del mismo modo, los coeficientes de x son
iguales y los términos constantes son iguales. Esto da el siguiente sistema de ecuaciones
para A, B y C:
2 A B 2C 1
3A 2 B C 2
2A 2B 2C 1