calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 8.5 PROBABILIDAD |||| 559
Observe el resultado del ejemplo 4(b): aun cuando el tiempo promedio de espera es
5 minutos, sólo 37% de las personas que llaman esperan más de 5 minutos. La razón es que
algunas de las personas que llaman tienen que esperar mucho más tiempo (quizá 10 o 15
minutos), y esto hace subir el promedio.
Otra medida central de una variable aleatoria con función de densidad f x en la medida
de probabilidad, es la mediana. Éste es un número m tal que la mitad de las personas
que llaman tienen un tiempo de espera menor que m y la otra mitad tiene un tiempo de espera
más largo que m. En general, la mediana de una función de densidad de probabilidad
es el número m tal que
y m
f x dx 1 2
Esto significa que la mitad del área bajo la gráfica de f se localiza a la derecha de m. En el
ejercicio 9 se pidió mostrar que el tiempo de espera promedio para la compañía descrita
en el ejemplo 4 es aproximadamente 3.5 minutos.
DISTRIBUCIONES NORMALES
Muchos fenómenos aleatorios importantes, como las puntuaciones en pruebas de aptitud,
estaturas y pesos de individuos de una población homogénea, precipitación pluvial anual en
un determinado lugar, se modelan mediante una distribución normal. Esto significa que
la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria X es un miembro de la familia
de funciones
f x 1 e x 2 2
2
3
s2
& La desviación estándar se denota con la letra
griega (sigma) minúscula.
Se puede comprobar que la media para esta función es . La constante positiva se llama
desviación estándar; qué tan dispersos están los valores de X. De las gráficas en forma de
campana de miembros de la familia de la figura 5, se ve que para valores pequeños de los
valores de X están agrupados respecto a la media, mientras que para valores más grandes
de los valores de X están más dispersos. Los estadísticos tienen métodos que les permiten
usar conjuntos de datos para estimar y .
y
1
s=
2
FIGURA 5
Distribuciones normales
0 m
s=1
s=2
x
y
0.02
0.01
0 60
80 100 120 140
FIGURA 6
Distribución de puntuaciones de CI
x
El factor 1(s2) es necesario para hacer de f una función de densidad de probabilidad.
De hecho, se puede comprobar por medio de los métodos de cálculo de varias
variables que
1
e x 2 2 2 dx 1
y
s2
V EJEMPLO 5 Las puntuaciones del cociente intelectual (CI) tienen una distribución
normal con media 100 y desviación estándar 15. (En la figura 6 se muestra la función de
densidad de probabilidad correspondiente.)
(a) ¿Qué porcentaje de la población tiene una puntuación de CI entre 85 y 115?
(b) ¿Qué porcentaje de la población tiene un CI arriba de 140?