calculo-de-una-variable-1

724 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
National Film Board of Canada
& Observe cómo la aproximación del modelo
generado por computadora (el cual utiliza
funciones de Bessel y de cosenos) coincide
con la fotografía de una membrana vibratoria
de hule.
De acuerdo con la regla de comparación, la serie dada es absolutamente convergente y, por
lo tanto, convergente cuando x 3 1 y divergente cuando x 3 1. Ahora
x 3 1 &? 1 x 3 1 &? 2 x 4
de modo que la serie converge cuando 2 x 4 y diverge cuando x 2 o bien x 4.
La prueba de la razón no proporciona información cuando x 3 1 de modo que
debe considerar x 2 y x 4 por separado. Si pone x 4 en la serie, se vuelve 1n,
la serie armónica, la cual es divergente. Si x 2, la serie es 1 n n, la cual es convergente
de acuerdo con la prueba de la serie alternante. Por lo tanto, la serie de potencias
dada converge para 2 x 4.
Ya verá que el uso principal de las series de potencias es proporcionar una manera de representar
algunas de las funciones más importantes que surgen en matemáticas, física y química.
En particular, la suma de la serie de potencias del ejemplo siguiente se llama función
de Bessel, en honor al astrónomo alemán Friedrich Bessel (1784-1846), y la función
dada en el ejercicio 35 es otro ejemplo de la función de Bessel. En efecto, estas funciones
surgieron primero cuando Bessel resolvió la ecuación de Kepler para describir el movimiento
de los planetas. Desde esa época, estas funciones se aplican en diversas situaciones físicas,
sin olvidar la distribución de temperaturas en una lámina circular y las vibraciones
de una membrana de un tambor.
EJEMPLO 3 Determine el dominio de la función de Bessel de orden 0 definida por
J 0 x 1 n x 2n
2 2n n! 2
SOLUCIÓN Sea a n 1 n x 2n 2 2n n! 2 . En tal caso
a n1
a n
n0
1
n1 x 2n1
2 2n1 n 1! 2 2n n! 2
2 1 n x
2n
x 2n2
2 2n2 n 1 2 n! 22n n! 2
2 x 2n
x 2
4n 1 2 l 0 1 para toda x
De este modo, de acuerdo con la prueba de la razón, la serie dada converge para
todos los valores de x. En otras palabras, el dominio de la función de Bessel J 0 es
, .
Recuerde que la suma de una serie es igual al límite de la sucesión de las sumas parciales.
De esa manera, cuando se define la función de Bessel del ejemplo 3 como la suma de
una serie quiere decir que, para todo número real x,
J 0 x lím
n l
s n x
Las primeras sumas parciales son
donde
s n x n
i0
1 i x 2i
2 2i i! 2
s 0 x 1
s 1 x 1 x 2
4
s 2 x 1 x 2
4 x 4
64
s 3 x 1 x 2
4 x 4
64 x 6
2304
s 4 x 1 x 2
4 x 4
64 x 6
2304 x 8
147 456