calculo-de-una-variable-1

486 |||| CAPÍTULO 7 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
es una integral desafiante, pero si se emplea la identidad tan 2 x sec 2 x 1, se
puede escribir
y tan 2 x sec x dx y sec 3 x dx y sec x dx
y si x sec 3 x dx ha sido evaluada antes (véase el ejemplo 8 en la sección 7.2),
entonces ese cálculo se puede usar en el problema actual.
(e) Use varios métodos. Algunas veces se requieren dos o tres métodos para evaluar
una integral. La evaluación podría requerir varias sustituciones sucesivas de diferentes
tipos, o podría ser necesario combinar la integración por partes con una o
más sustituciones.
En los siguientes ejemplos se indica una manera de cómo enfrentar el problema, pero
no resuelve por completo la integral.
EJEMPLO 1
y tan3 x
cos 3 x dx
En el paso 1 se reescribe la integral:
y tan3 x
cos 3 x dx y tan 3 x sec 3 x dx
La integral ahora es de la forma x tan m x sec n x dx con m impar, así que se puede usar la
recomendación de la sección 7.2.
De manera alternativa, si en el paso 1 se hubiera escrito
y tan3 x
cos 3 x dx y sen3 x
cos 3 x
1
cos 3 x dx y sen3 x
cos 6 x dx
por lo tanto se podría haber continuado como sigue con la sustitución u cos x:
y sen3 x
cos 6 x dx y 1 cos2 x
sen x dx y 1 u 2
du
cos 6 x
u 6
y u 2 1
u 6 du y u 4 u 6 du
V
EJEMPLO 2
y e sx dx
De acuerdo con (ii) en el paso 3(d), se sustituye u sx. Entonces x u 2 , por lo tanto,
dx 2u du y
y e sx dx 2 y ue u du
El integrando es ahora un producto de u y la función trascendental e u de modo que se
puede integrar por partes.