calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 8.5 PROBABILIDAD |||| 557
y
y=f(t)
Ît
0 t t i
FIGURA 3
t i-1
t i
t
VALORES PROMEDIO
Suponga que está en espera de que una compañía conteste su llamada telefónica y se pregunta
cuánto tiempo, en promedio, está dispuesto a esperar. Sea f t la función de densidad
correspondiente, donde t se mide en minutos, y considere una muestra de N personas
que han llamado a esta compañía. Es muy probable que ninguno de ellos tuvo que esperar
más de una hora, así que se restringe la atención al intervalo 0 t 60. Divida
ese intervalo en n intervalos de longitud t y puntos finales 0, t 1 , t 2 , . . . (Considere que
t dura un minuto, o medio minuto, o 10 segundos o incluso un segundo). La probabilidad
de que la llamada de alguien sea contestada durante el periodo de t i1 a t i es el área
bajo la curva y f t de t i1 a t i , que es aproximadamente igual a f t i t. (Ésta es el
área del rectángulo de aproximación en la figura 3, donde t i es el punto medio del intervalo.)
Puesto que la proporción a largo plazo de llamadas que son contestadas en el periodo
de t i1 a t i es f t i t, se espera que, de la muestra de N personas que llaman, la cantidad
cuya llamada fue contestada en ese periodo es aproximadamente Nf t i t y el tiempo que
cada uno esperó es de alrededor de t i . Por lo tanto, el tiempo total que esperaron es el producto
de estos números: aproximadamente t i Nf t i t. Al sumar todos estos intervalos, se
obtiene el total aproximado de los tiempos de espera de todos:
n
Nt i f t i t
i1
Si ahora se divide entre el número de personas que llamaron N, se obtiene el tiempo de espera
promedio aproximado:
n
t i f t i t
i1
Se reconoce a esto como una suma de Riemann para la función tft. Cuando se acorta el intervalo
(es decir, t l 0 y n l ), esta suma de Riemann se aproxima a la integral
y 60
tft dt
0
& Es práctica común denotar la media por la
letra griega (mu).
Esta integral se llama la media del tiempo de espera.
En general, la media de cualquier variable aleatoria se define como
y
xfx dx
y
y=ƒ
La media se puede interpretar como el valor promedio a largo plazo de la variable aleatoria
X. Se puede interpretar también como una medida de la posición central de la función
de densidad de probabilidad.
La expresión para la media se asemeja a una integral que se ha visto antes. Si es la
región que yace bajo la gráfica de f , se sabe de la fórmula 8.3.8 que la coordenada x del
centroide de es
x=m
T
0 m
t
x
y
y
xfx dx
f x dx
y xfx dx
FIGURA 4
T se equilibra en un punto sobre
la recta x=m
debido a la ecuación 2. De modo que una placa delgada en la forma de se equilibra en
un punto sobre la línea vertical . (Véase figura 4).
x