calculo-de-una-variable-1

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PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO El cálculo es fundamentalmente diferente de las matemáticas que el lector ha estudiado con anterioridad. El cálculo es menos estático y más dinámico. Se interesa en el cambio y en el movimiento; trata cantidades que se aproximan a otras cantidades. Por esa razón, puede resultar útil tener un panorama general de la materia antes de empezar su estudio intensivo. En las páginas siguientes se le presentan algunas de las ideas principales del cálculo, al mostrar cómo surgen los límites cuando intentamos resolver diversos problemas. 2
PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO |||| 3 A¡ A∞ A A£ A¢ A=A¡+A+A£+A¢+A∞ FIGURA 1 EL PROBLEMA DEL ÁREA Los orígenes del cálculo se remontan a unos 2 500 años, hasta los antiguos griegos, quienes hallaron áreas aplicando el “método del agotamiento”. Sabían cómo hallar el área A de cualquier polígono al dividirlo en triángulos como en la figura 1, y sumar las áreas de estos triángulos. Hallar el área de una figura curva es un problema mucho más difícil. El método griego del agotamiento consistía en inscribir polígonos en la figura y circunscribir otros polígonos en torno a la misma figura y, a continuación, hacer que el número de lados de los polígonos aumentara. En la figura 2 se ilustra este proceso para el caso especial de un círculo con polígonos regulares inscritos. A£ A¢ A∞ Aß A A¡ FIGURA 2 Sea A n el área del polígono inscrito con n lados. Al aumentar n, parece que A n se aproxima cada vez más al área del círculo. El área del círculo es el límite de las áreas de los polígonos inscritos y TEC El Preview Visual es una investigación numérica y gráfica de la aproximación del área de un círculo mediante polígonos inscritos y circunscritos. A lím n l A n Los griegos no aplicaron explícitamente los límites. Sin embargo, por razonamiento indirecto Eudoxo (siglo v a. C.) utilizó el agotamiento para probar la conocida fórmula del área de un círculo: A r 2 . El capítulo 5 expone una idea semejante para hallar las áreas de regiones del tipo que se muestra en la figura 3. Se da una aproximación del área deseada A por medio de áreas de rectángulos (como en la figura 4), hasta que disminuya el ancho de los rectángulos y, en seguida, se calcula A como el límite de estas sumas de áreas de rectángulos. y y y y (1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) y=≈ A 0 1 x 0 1 1 3 1 x 4 2 4 0 1 x 0 1 1 x n FIGURA 3 FIGURA 4 El problema del área es el problema central de la rama del cálculo que se conoce como cálculo integral. Las técnicas desarrolladas en el capítulo 5 para hallar áreas también permiten calcular el volumen de un sólido, la longitud de una curva, la fuerza del agua contra la cortina de una presa, la masa y el centro de gravedad de una varilla y el trabajo que se lleva a cabo al bombear agua hacia afuera de un tanque. 3
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