calculo-de-una-variable-1

124 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
_
3π
2
FIGURA 6
_π π
_
2
y
1
0
y=tan x
π
2
π
3π
2
x
es continua excepto donde cos x 0. Esto sucede cuando x es un múltiplo impar de p2, de
modo que y tan x tiene discontinuidades infinitas cuando x p2, 3p2, 5p2, y
así sucesivamente (véase la figura 6).
La función inversa de cualquier función uno a uno continua también es continua. (Este
hecho se comprueba en el apéndice F, pero la intuición geométrica lo hace parecer razonable:
La gráfica de f 1 se obtiene reflejando la gráfica de f respecto a la recta y x. También,
si la gráfica de f no tiene ruptura alguna, tampoco la tiene la gráfica de f 1 .) De este
modo, las funciones trigonométricas inversas son continuas.
En la sección 1.5 se definió la función exponencial y a x de modo que se llenaran los
agujeros en la gráfica de esta función donde x es racional. En otras palabras, la simple
definición de y a x la hace una función continua sobre . Por lo tanto, su función inversa
y log a x es continua sobre 0, .
& En la sección 1.6 se hace un repaso
de las funciones trigonométricas inversas.
7 TEOREMA
sus dominios:
Los tipos siguientes de funciones son continuos en todo número en
polinomios funciones racionales funciones raíz
funciones trigonométricas
funciones exponenciales
funciones trigonométricas inversas
funciones logarítmicas
EJEMPLO 6 ¿En dónde es continua la función f x ln x tan1 x
?
x 2 1
SOLUCIÓN Por el teorema 7, sabe que la función y ln x es continua para x 0 y que
y tan 1 x es continua sobre . Así, por la parte 1 del teorema 4, y ln x tan 1 x
es continua sobre 0, . El denominador, y x 2 1, es un polinomio, de modo que es
continuo en todas partes. Por lo tanto, por la parte 5 del teorema 4, f es continua en
todos los números positivos x, excepto donde x 2 1 0. De este modo, f es continua
en los intervalos 0, 1 y 1, .
sen x
EJEMPLO 7 Hallar el valor numérico del lím .
x l 2 cos x
SOLUCIÓN El teorema 7 dice que y sen x es continua. La función en el denominador,
y 2 cos x, es la suma de dos funciones continuas y en consecuencia es continua.
Dese cuenta que esta función jamás es cero porque cos x 1 para toda x y también
2 cos x 0 en todas partes. En estos términos la relación
fx
sen x
2 cos x
es continua en todas partes. Por lo tanto, mediante la definición de función continua,
sen x
lím
2 cos x lím
xl
xl
fx f sen
0
2 cos 2 1 0
Otra manera de combinar las funciones continuas f y t para obtener una nueva función
continua es formar la función compuesta f t. Este hecho es una consecuencia del teorema
siguiente.