calculo-de-una-variable-1

372 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES
(b) La gráfica de y x 1 es la recta con pendiente 1 que se presenta en la figura 10.
Calcule la integral como la diferencia de las áreas de los dos triángulos:
y 3
x 1 dx A 1 A 2 1 22 2 1 21 1 1.5
0
y
(3, 2)
y=x-1
A¡
0
A
1
3
x
FIGURA 10
_1
LA REGLA DEL PUNTO MEDIO
A menudo se elige el punto muestra x*
i como el extremo de la derecha del i-ésimo intervalo
como el punto muestra porque resulta conveniente para calcular el límite. Pero si la
finalidad es hallar una aproximación para una integral, conviene escoger x*
i como el
punto medio del intervalo, el cual se denota con x i . Cualquier suma de Riemann es una
aproximación a una integral, pero si usa los puntos medios, obtiene la aproximación
siguiente:
TEC En Module 5.2/ 7.7 se muestra cómo
la regla del punto medio mejora cuando n se
incrementa.
REGLA DEL PUNTO MEDIO
y b
f x dx n
f x i x x f x 1 f x n
a
i1
donde
y
x b a
n
x i 1 2 x i1 x i punto medio de x i1 , x i
y
y= 1 x
V EJEMPLO 5 Use la regla del punto medio con n 5 para hallar una aproximación
de y 2 1
.
1 x dx
SOLUCIÓN Los puntos extremos de los cinco subintervalos son 1, 1.2, 1.4, 1.6, 1.8 y 2.0. de
modo que los puntos medios son 1.1, 1.3, 1.5, 1.7 y 1.9. El ancho de los subintervalos es
x 2 15 1 5, de suerte que la regla del punto medio da
y 2
1
1
dx x f 1.1 f 1.3 f 1.5 f 1.7 f 1.9
x
1 1
5 1.1 1
1.3 1
1.5 1
1.7 1.9 1
0.691908
0 1 2 x
FIGURA 11
Puesto que f x 1x 0, para 1 x 2, la integral representa un área y la aproximación
dada por la regla del punto medio es la suma de las áreas de los rectángulos
que se muestran en la figura 11.