calculo-de-una-variable-1

198 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
COMENTARIOS SOBRE LA DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA DE LA CADENA Sea u el cambio
en u correspondiente a un cambio de x en x; es decir
Por lo tanto el cambio correspondiente en y es
Resulta tentador escribir
dy
dx lím
x l 0
y
x
u tx x tx
y f u u f u
1
y
lím
x l 0 u u
x
y
lím
x l 0 u lím u
x l 0 x
y
lím
u l 0 u lím u
x l 0 x
(Advierta que u l 0 cuando x l 0
porque t es continua.)
dy
du
du
dx
El único defecto de este razonamiento es que, en (1), podría suceder que u 0 (incluso
cuando x 0) y, por supuesto, no puede dividir entre 0. No obstante, este razonamiento
por lo menos sugiere que la regla de la cadena es verdadera. Al final de esta sección se da
una prueba completa de la regla de la cadena.
La regla de la cadena se puede escribir con apóstrofos
2
f tx f tx tx
o bien, si y f u y u tx, en la notación de Leibniz:
3
dy
dx dy
du
du
dx
La ecuación 3 es fácil de recordar porque, si dydu y dudx fueran cocientes, después podría
cancelar du. Sin embargo, recuerde que du no se ha definido y no debe concebir dudx
como un cociente real.
EJEMPLO 1 Encuentre Fx si Fx sx 2 1.
SOLUCIÓN 1 (Con la ecuación 2): Al principio de esta sección, se expresó F como
Fx f tx f tx donde f u su y tx x 2 1. Dado que
f u 1 2u 12 1
2su
y
tx 2x
tiene
Fx f tx tx
1
2sx 2 1 2x
x
sx 2 1