calculo-de-una-variable-1

526 |||| CAPÍTULO 8 MÁS APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
Al aplicar el teorema del valor medio a f en el intervalo x i1 , x i , se encuentra que hay un
número x i * entre y tal que
x i1
x i
f x i f x i1 f x i *x i x i1
es decir,
Así, se tiene
P i1P i sx2 y i 2 y i f x i * x
sx 2 f x i * x 2
s1 [ f x s1 f x i * 2 i * 2 sx 2
x
(puesto que x 0 )
Por lo tanto, por la definición 1,
L lím
n l
n
P i1P i
i1
Se reconoce que esta expresión es igual a
lím
n l
n
s1 f x i * 2 x
i1
y b
a s1 f x2 dx
por la definición de una integral definida. Esta integral existe porque la función
tx s1 f x 2 es continua. Así, se ha demostrado el siguiente teorema:
2 FÓRMULA DE LA LONGITUD DE ARCO Si f es continua en [a, b], entonces la
longitud de la curva y f x, a x b, es
L y b
a s1 f x2 dx
Si se usa la notación de Leibniz para derivadas, se puede escribir la fórmula de la longitud
de arco como sigue:
3
b
L y 1 dy 2
dx
a dx
y
(4, 8)
¥=x#
(1, 1)
0 x
FIGURA 5
EJEMPLO 1 Halle la longitud de arco de la parábola semicúbica y 2 x 3 entre los puntos
(1, 1) y (4, 8). (Véase figura 5).
SOLUCIÓN Para la mitad superior de la curva se tiene
dy
y x 32 dx 3 2 x 12
y, por lo tanto, la fórmula de longitud de arco produce
4
L y 1 dy 2
dx
1 dx y 4
s1 9 x dx 4
1
Si se sustituye u 1 9 x, entonces du 9 dx. Cuando , u 13 4
4 x 1 4 ; cuando x 4,
u 10.