calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 2.5 CONTINUIDAD |||| 119
2.5
CONTINUIDAD
En la sección 2.3 se le hizo notar que a menudo se puede hallar el límite de una función
cuando x tiende a a, con sólo calcular el valor de la función en a. Se dice que las funciones
con esta propiedad son continuas en a. Ahora verá que la definición matemática de
continuidad corresponde íntimamente al significado de la palabra continuidad en el lenguaje
cotidiano. (Un proceso continuo tiene lugar gradualmente, sin interrupción ni cambio
abrupto.)
1
DEFINICIÓN
Una función f es continua en un número a si
lím f x f a
x la
& Como se ilustra en la figura 1, si f es
continua, después los puntos x, fx de
la gráfica de f tienden al punto a, fa
de la gráfica. Así, no hay brecha alguna
en la curva.
ƒ
tiende a
f(a).
FIGURA 1
y
y
0
f(a)
y=ƒ
a
Conforme x se
aproxima a a,
0 x
1 2 3 4 5
FIGURA 2
x
Advierta que la definición 1 requiere implícitamente tres cosas si f es continua en a:
1. fa está definido (es decir, a está en el dominio de f )
2. lím f x existe
x la
3.
lím f x f a
x la
La definición afirma que f es continua en a si fx tiende a fa cuando x tiende a a. Así,
una función continua tiene la propiedad de que un cambio pequeño en x sólo produce una
pequeña alteración en fx. De hecho, el cambio en fx se puede mantener tan pequeño como
desee, restringiendo el cambio en x lo necesario.
Si f está definida cerca de a (en otras palabras, f está definida en un intervalo abierto
que contiene a, excepto tal vez en a), f es discontinua en a (o f tiene una discontinuidad
en a) si f no es continua en a.
Los fenómenos físicos suelen ser continuos. Por ejemplo, el desplazamiento o la velocidad
de un vehículo varían en forma continua con el tiempo, como pasa con la estatura
de una persona. Pero en realidad se presentan discontinuidades en situaciones como las
corrientes eléctricas. Vea el ejemplo 6, de la sección 2.2, donde la función de Heaviside
es discontinua en 0 porque lím tl 0 Ht no existe.
Geométricamente, una función continua en todo número en un intervalo se puede concebir
como una función cuya gráfica no se interrumpe. La gráfica se puede trazar sin levantar
la pluma del papel.
EJEMPLO 1 En la figura 2 se muestra la gráfica de una función f. ¿En cuáles números es f
discontinua? ¿Por qué?
SOLUCIÓN Se ve como si hubiera una discontinuidad cuando a 1 porque la gráfica
tiene una ruptura allí. La razón oficial de que f sea discontinua en 1 es que f1 no
está definido.
La gráfica también tiene una ruptura cuando a 3, pero la razón de la discontinuidad
es diferente. En este caso, f3 está definido, pero lím xl 3 fx no existe (porque los límites
por la izquierda y por la derecha son diferentes). Por lo tanto, f es discontinua en 3.
¿Qué pasa cuando x 5? En tal caso, f5 está definido y lím xl 5 fx existe (porque
los límites por la izquierda y por la derecha son los mismos). Pero
lím f x f 5
x l 5
De este modo, f es discontinua en 5.
Observe ahora cómo detectar las discontinuidades cuando una fórmula define a la
función.