calculo-de-una-variable-1

430 |||| CAPÍTULO 6 APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
la figura 16, usted podría comprobar que habría obtenido la integral
V y h
0
L 2
h h 2 y2 dy L2 h
3
EJEMPLO 9 Se corta una cuña de un cilindro circular de radio 4 definida mediante dos
planos. Un plano es perpendicular al eje del cilindro. El otro corta al primero en un
ángulo de 30° a lo largo del diámetro del cilindro. Determine el volumen de la cuña.
SOLUCIÓN Si hace coincidir el eje x con el diámetro en el lugar donde se encuentran
los planos, después la base del sólido es un semicírculo con ecuación y s16 x 2 ,
4 x 4. Una sección transversal que es perpendicular al eje x a una distancia
x del origen es un triángulo ABC, según se muestra en la figura 17, cuya base es
y s16 x 2 y cuya altura es BC y tan 30 s16 x 2 s3. Por lo tanto, el
área de la sección transversal es
0
A
4
x
C
B
y
y=œ„„„„„„ 16-≈
C
y el volumen es
Ax 1 2 s16 x 2
V y 4 Ax dx y 4 4
4
1
s3 y4 0
1
s3 s16 x 2
16 x 2
dx
2s3
16 x 2
2s3
16 x 2 dx 1
s316x x 3
4
30
A
30°
FIGURA 17
y
B
128
3s3
En el ejercicio 64 se proporciona otro método.
6.2
EJERCICIOS
1–18 Encuentre el volumen del sólido obtenido al hacer girar
la región delimitada por las curvas dadas alrededor de la recta
especificada. Grafique la región, el sólido y un disco o arandela
representativos.
1. y 2 1 ; alrededor del eje x
2
x, y 0, x 1, x 2
2. y 1 x 2 , y 0; alrededor del eje x
3. y 1x, x 1, x 2, y 0; alrededor del eje x
4. y s25 x 2 , y 0, x 2, x 4 ; alrededor del eje x
5. x 2sy, x 0, y 9; alrededor del eje y
6. y ln x, y 1, y 2, x 0; alrededor del eje y
7. y x 3 , y x, x 0; alrededor del eje x
8. y 1 x 2 4
, y 5 x 2 ; alrededor del eje x
10. y 1 x 2 , x 2, y 0; 4
alrededor del eje y
11. y x, y sx; alrededor de y 1
12. y e x , y 1, x 2; alrededor de y 2
13. y 1 sec x, y 3; alrededor de y 1
14. y 1x, y 0, x 1, x 3; alrededor de y 1
15. x y 2 , x 1; alrededor de x 1
16. y x, y sx; alrededor de x 2
17. y x 2 , x y 2 ; alrededor de x 1
18. y x, y 0, x 2, x 4; alrededor de x 1
9.
y 2 x, x 2y; alrededor del eje y