calculo-de-una-variable-1

PROBLEMAS ADICIONALES
(f) Deduzca que el valor siguiente es correcto con siete cifras decimales,
3.1415927
Machin aplicó este método en 1706 para determinar con 100 cifras decimales. Recientemente,
con la ayuda de computadoras, se ha calculado cada vez con mayor exactitud el valor
de . Yasumada Kanada de la University of Tokyo recién calculó el valor de a un billón de
lugares decimales!
8. (a) Demuestre una fórmula similar a la del problema 7(a), pero que contenga arccot en lugar
de arctan.
(b) Calcule la suma de la serie
9. Determine el intervalo de convergencia de n1 n 3 x n y calcule la suma.
10. Si a 0 a 1 a 2 a k 0, demuestre que
lím (a0sn a1sn 1 a2sn 2 aksn k) 0
n l
arccotn 2 n 1
n0
FIGURA PARA EL PROBLEMA 12
6
1
4
1
2
Si no encuentra cómo demostrarlo, intente con la estrategia de resolución de problemas usando
las analogías (véase página 76). Intente primero los casos especiales k 1 y k 2. Si
puede ver cómo demostrar la afirmación para estos casos, probablemente verá cómo demostrarlo
en general.
2
11. Calcule la suma de la serie
ln1 1 .
n
n2
12. Suponga que posee una gran cantidad de libros, todos del mismo tamaño, y que los apila en el
borde de una mesa, y que cada libro sobresale un poco más del borde de la mesa que el libro
anterior. Demuestre que es posible hacerlo de modo que el libro que queda hasta encima está
por completo más allá del borde de la mesa. En efecto, muestre que el libro de hasta encima
se puede acomodar a cualquier distancia más allá del borde de la mesa si la pila de libros tiene
la altura suficiente. Aplique el método siguiente para apilar los libros: la mitad del largo
del último libro sobresale del penúltimo libro. De este penúltimo libro sobresale sólo un
cuarto de su largo con respecto al libro antepenúltimo. De este libro sobresale un sexto de su largo
con respecto al libro ante-antepenúltimo, y así sucesivamente. Inténtelo usted mismo con un
juego de cartas. Tome en cuenta el centro de masa.
13. Si la curva y e x10 sen x, x 0, gira alrededor del eje x, el sólido resultante se observa
como un infinito collar de esferillas decreciente.
(a) Encuentre el volumen exacto de la n-ésima esferilla. (Use una tabla de integrales o sistema
computarizado de álgebra.)
(b) Encuentre el volumen total de las esferillas.
14. Si p 1, evalúe la expresión.
1 1 2 p 1 3 p 1 4 p
1 1 2 p 1 3 p 1 4 p
15. Suponga que círculos de igual diámetro están acomodados apretadamente en n filas dentro
de un triángulo equilátero. (La figura ilustra el caso n 4.) Si A es el área del triángulo y A n
es el área total ocupada por las n filas de círculos, demuestre que
FIGURA PARA EL PROBLEMA 15
A n
lím
n l A
2s3
762