calculo-de-una-variable-1

CAPÍTULO 2 REPASO |||| 165
49. Sea f x s 3 x.
(a) Si a 0, use la ecuación 2.7.5 para hallar fa.
(b) Demuestre que f0 no existe.
(c) Demuestre que y s 3 x tiene una recta tangente vertical en
0, 0. (Recuerde la forma de la función de f. Véase la figura
13 de la sección 1.2.)
50. (a) Si tx x 23 , demuestre que t0 no existe.
(b) Si a 0, encuentre ta.
(c) Demuestre que y x 23 tiene una recta tangente vertical en
0, 0.
; (d) Ilustre el inciso (c) dibujando y x 23 .
51. Demuestre que la función fx x 6 no es derivable en 6.
Encuentre una fórmula para f y trace su gráfica.
52. ¿Dónde es no derivable la función entero máximo
fx x? Halle una fórmula para f y trace su gráfica.
53.
(a) Dibuje la gráfica de la función fx x x .
(b) Para qué valores de x es f derivable.
(c) Halle una fórmula para f.
54. Las derivadas izquierda y derecha de f en a están
definidas por
y
f a h f a
f a lím h l 0 h
f a lím
h l 0
f a h f a
h
si existen estos límites. En tal caso, fa existe si y sólo si estas
derivadas laterales existen y son iguales.
(a) Halle f 4 y f 4 para la función
f x
0
5 x
1
5 x
(b) Dibuje la gráfica de f.
(c) ¿Dónde es f discontinua?
(d) ¿Dónde f no es derivable?
si x 0
si 0 x 4
si x 4
55. Recuerde que a una función se le denomina como par
si fx fx para toda x en su dominio e impar si
fx fx para toda x. Pruebe cada uno de los
siguientes
(a) La derivada de una función par es una función impar.
(b) La derivada de una función impar es una función par.
56. Cuando abre una llave de agua caliente, la temperatura T del
agua depende del tiempo que el agua ha estado corriendo.
(a) Trace una gráfica posible de T como función del tiempo
transcurrido desde que abrió la llave.
(b) Describa cómo varía la relación de cambio de T con respecto
a t, conforme ésta aumenta.
(c) Dibuje la derivada de T.
57. Sea la recta tangente a la parábola y x 2 en el punto 1,
1. El ángulo de inclinación de es el ángulo f que
describe con la dirección positiva del eje x. Calcule f
correcto al grado más cercano.
REVISIÓN DE CONCEPTOS
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REPASO
1. Explique qué significa cada una de las siguientes e ilustre mediante
un boceto.
(a) lím f x L
(b) lím f x L
x la x la
(c) lím f x L (d) lím f x
x la x la
(e) lím f x L
x l
2. Describa varias formas en que un límite puede no existir. Ilustre
con bocetos.
3. Enuncie las leyes de los límites siguientes.
(a) Ley de la suma
(b) Ley de la diferencia
(c) Ley del múltiplo constante (d) Ley del producto
(e) Ley del cociente (f) Ley de la potencia
(g) Ley de la raíz
4. ¿Qué dice el teorema de la compresión?
5. (a) ¿Qué quiere darse a entender al decir que la recta x a es
una asíntota vertical de la curva y f(x)? Dibuje curvas
para ilustrar las diversas posibilidades.
(b) Qué significa decir que la recta y L es una asíntota horizontal
de la curva y f x? Dibuje curvas para
ilustrar las diversas posibilidades.
6. ¿Cuál de las curvas siguientes tiene asíntotas verticales? ¿Cuál
tiene asíntotas horizontales?
(a) y x 4
(b) y sen x
(c) y tan x
(d) y tan 1 x
(e) y e x
(f) y ln x
(g) y 1x
(h) y sx
7. (a) ¿Qué significa que f sea continua en a?
(b) ¿Qué significa que f sea continua en el intervalo
, ? ¿Qué puede decir acerca de la gráfica de
tal función?
8. ¿Qué dice el teorema del valor intermedio?
9. Escriba una expresión para la pendiente de la recta tangente a
la curva y f x en el punto a, f a.