calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 7.3 SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA |||| 469
Para evaluar esta integral se sustituye x a sen . Entonces dx a cos d. Para cambiar
los límites de integración se nota que cuando x 0, sen 0, cuando ; de
modo que x a, sen 1, por lo tanto, . También
puesto que 0
2
4ab y
. Por lo tanto,
0
2
2
sa 2 x 2 sa 2 a 2 sen 2 sa 2 cos 2 a cos a cos
A 4 b a ya sa 2 x 2 dx 4 b y
0 a 0
cos 2 d 4ab y
2 1
2ab[ 1 2
2 sen 2] 0 2ab
Se ha mostrado que el área de una elipse con semiejes a y b es ab. En particular,
tomando a b r, se ha demostrado la famosa fórmula de que el área de un círculo
con radio r es r 2 .
NOTA Puesto que la integral del ejemplo 2 fue una integral definida, se cambiaron los
límites de integración y no fue necesario convertir de nuevo a la variable original x.
0
2
a cos a cos d
21 cos 2 d
ab
2 0 0
0
V
1
EJEMPLO 3 Encuentre y
.
x 2 sx 2 4 dx
2
SOLUCIÓN Sea x 2 tan , 2 . Por lo tanto dx 2 sec 2 d y
sx 2 4 s4tan 2 1 s4 sec 2 2 sec 2 sec
Por esto, se tiene
y
dx
x 2 sx 2 4 y
2 sec 2 d
4tan 2 1 y sec
2sec 4 tan 2
d
Para evaluar esta integral trigonométrica se escribe todo en términos de sen y cos :
sec
tan 2
1 cos2
cos sen 2 cos
sen 2
Por lo tanto, al hacer la sustitución u sen , se tiene
y
dx
x 2 sx 2 4 1 4 y cos
sen 2
d 1 4 y du
u 2
¨
FIGURA 3
tan ¨= x 2
œ„„„„„ ≈+4
2
x
Se usa la figura 3 para determinar que csc sx 2 4x y, de este modo,
y
1 1 C
4 u 1 C
4 sen
csc
4
C
dx
x 2 sx 2 4 sx 2 4
4x
C