calculo-de-una-variable-1

92 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
( p x)
Los valores de sen fluctúan entre 1 y 1 infinidad de veces, cuando x tiende a cero.
(Véase el ejercicio 39.)
Ya que el valor de fx no se aproxima a un número fijo cuando x se aproxima a cero.
x
x 3
cos 5x
10 000
1 1.000028
0.5 0.124920
0.1 0.001088
0.05 0.000222
0.01 0.000101
lím sen
x l 0
cos 5x
EJEMPLO 5 Encuentre lím
.
x l 0x 3
10 000
x
SOLUCIÓN Como antes construya una tabla de valores. A partir de la primera tabla que aparece
en el margen
lím
x l 0x 3
no existe
cos 5x
10 000 0
x
x 3
cos 5x
10 000
0.005 0.00010009
0.001 0.00010000
Pero si perseveran con valores más pequeños de x, la segunda tabla sugiere que
lím
x l 0x 3
cos 5x
0.000100
10 000 1
10 000
Más adelante verá que lím xl 0 cos 5x 1 y en tal caso se concluye que el límite
es 0.0001.
| Los ejemplos 4 y 5 ilustran algunos de los riesgos en la suposición del valor de un límite.
Es fácil suponer un valor erróneo, si se usan valores inapropiados de x, pero es difícil saber
cuándo suspender el cálculo de valores. Y, como hace ver el análisis que sigue al ejemplo 2, a
veces las calculadoras y las computadoras dan valores erróneos. Sin embargo, más adelante
se desarrollan métodos infalibles para calcular límites.
y
V
EJEMPLO 6 La función de Heaviside H se define por
1
Ht 0 1
si t 0
si t 0
FIGURA 8
0
t
Esta función recibe ese nombre en honor al ingeniero electricista Oliver Heaviside
(1850-1925) y se puede usar para describir una corriente eléctrica que se hace circular
en el instante t 0. En la figura 8 se muestra su gráfica.
Conforme t se acerca a 0 por la izquierda, Ht tiende a 0. Cuando t se aproxima a 0
por la derecha, Ht tiende a 1. No existe un número único al que Ht se aproxime
cuando t tiende a 0. Por consiguiente, lím tl 0 Ht no existe.
LÍMITES LATERALES
En el ejemplo 6 se vio que Ht tiende a 0 cuando t lo hace a 0 por la izquierda y que esa
función tiende a 1 cuando t lo hace a 0 por la derecha. Se indica simbólicamente esta situación
escribiendo
lím Ht 0
t l0
y
lím Ht 1
t l0
El símbolo “t l 0 ” indica que sólo se consideran valores de t menores que 0. Del mismo
modo “t l 0 ” indica que sólo se consideran valores de t mayores que 0.