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SECCIÓN 11.6 CONVERGENCIA ABSOLUTA Y LAS PRUEBAS DE LA RAZÓN Y LA RAÍZ |||| 717
Ahora la serie
k1 a N r k a N r a N r 2 a N r 3
es convergente porque es una serie geométrica con 0 r 1. De modo que la desigualdad
5), junto con la prueba de la comparación demuestran que la serie
a n
nN1
k1 a Nk a N1 a N2 a N3
n1 a n
también es convergente. Se infiere que la serie es convergente. (Recuerde que
una cantidad finita de términos no afecta la convergencia.) Por lo tanto, a n es absolutamente
convergente.
(ii) Si a n1a , o bien, a n1a , entonces el cociente a n l
n l L 1
n1a n eventualmente
será mayor que 1; es decir, existe un entero N tal que
Esto significa que
a n1
a n
a n1 a n
1
siempre que n N
siempre que n N y de este modo,
lím a n 0
n l
En consecuencia, a n es divergente según la prueba de la divergencia.
NOTA La parte (iii) de la regla de comparación establece que si lím nl a n1 a n 1,
la prueba no proporciona información. Por ejemplo, en cuanto a la serie convergente
1n 2
a n1
a n
1
n 1 2
1
n 2
pero para la serie divergente 1n
n 2
n 1
1
2
1
n
1 l 1 2
cuando n l
a n1
a n
1
n 1
1
n
n
n 1 1
1 1 n
cuando n l
Por lo tanto, si lím nl a n1 a n 1, la serie a n podría ser convergente o divergente. En este
caso, la regla de comparación no funciona, razón por la cual debe aplicar otra prueba.
l 1
& ESTIMACIÓN DE SUMAS
En las tres últimas secciones estudió varios
métodos para estimar la suma de la serie, y
el método dependía de cuál prueba se usaba
para demostrar la convergencia. ¿Qué sucede
con las series para las cuales sí funciona la
regla de comparación? Hay dos posibilidades: si
la serie es alternante, como en el ejemplo 4,
entonces es mejor aplicar los métodos de la
sección 11.5. Si todos los términos son positivos,
en este caso aplique los métodos especiales que
se explican en el ejercicio 34.
EJEMPLO 4 Pruebe si la serie
1 n 3
n
n1 3 n
1 3
n 1
n
es absolutamente convergente.
SOLUCIÓN Aplique la regla de comparación con a :
a n1
a n
|
1 n1 n 1 3
|
n 1 n n 3 3 n
3 n1 n 13
3n
1 n n 3 3 n1 n 3
3 n
3
1 1 1 l
3 n3 1 3 1