calculo-de-una-variable-1

122 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
4 TEOREMA Si f y t son continuas en a y c es una constante, entonces las funciones
siguientes también son continuas en a:
1. f t 2. f t 3. cf
f
4. ft 5. si ta 0
t
DEMOSTRACIÓN Cada una de las cinco partes de este teorema se infieren de la ley de los límites
correspondiente de la sección 2.3. Por ejemplo, demuestra la parte 1. Puesto que f y
t son continuas en a,
lím f x f a
x l a
y
lím tx ta
x l a
En consecuencia,
lím f tx lím f x tx
x l a x l a
lím
x l a
f x lím
x l a
tx
(por la Ley 1)
fa ta
f ta
Esto muestra que f t es continua en a.
Del teorema 4 y la definición 3 se deduce que si f y t son continuas sobre un intervalo,
también lo son las funciones f t, f t, cf, ft y (si t nunca es 0) ft. En la sección 2.3
se enunció el siguiente teorema como propiedad de sustitución directa.
5 TEOREMA
(a) Cualquier polinomio es continuo en todas partes; es decir, es continuo sobre
, .
(b) Cualquier función racional es continua, siempre que esté definida; es decir, es
continua en su dominio.
DEMOSTRACIÓN
(a) Un polinomio es una función de la forma
Px c n x n c n1 x n1 c 1 x c 0
donde c 0 , c 1 ,...,c n son constantes. Sabe que
lím c 0 c 0 (por la ley 7)
x l a
y lím x m a m m 1.2,...,n (por la ley 9)
x l a
Esta ecuación es precisamente la proposición de que la función fx x m es una
función continua. Por esto, con base en la parte 3 del teorema 4, la función
tx cx m es continua. Dado que P es una suma de funciones de esta forma y
una función constante, a partir de la parte 1 del teorema 4 se deduce que P es
continua.