calculo-de-una-variable-1

114 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
o bien, al elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad sx , obtiene
Esto lleva a pensar que debe elegir d e 2 .
si 0 x d por lo tanto x e 2
2. Demostración de que sí trabaja esta d. Dado e 0, sea d e 2 . Si 0 x d,
entonces
sx s s 2
de modo que
sx 0
De acuerdo con la definición 4, esto demuestra que lím x l 0
sx 0.
EJEMPLO 4 Demuestre que lím x 2 9.
x l 3
SOLUCIÓN
1. Adivinar un valor de d. Dado que e 0. Debe encontrar un número d 0
tal que
si 0 x 3 d entonces x 2 9 e
Para relacionar x 2 9 con x 3 escriba x 2 9 x 3x 3. Luego
quiere
si 0 x 3 d entonces x 3 x 3 e
Observe que si puede encontrar una constante positiva C tal que x 3 C, entonces
x 3 x 3 C x 3
y puede hacer C x 3 e tomando x 3 eC d.
Puede determinar tal número C si restringe a x a quedar en un intervalo con centro en
3. En efecto, puesto que está interesado sólo en valores de x que estén cercanos a 3, es razonable
suponer que x está a una distancia 1 desde 3, es decir, x 3 1. Por lo tanto
2 x 4, de modo que 5 x 3 7. Así, x 3 7, y por eso C 7 es una elección
aceptable para la constante.
Pero ahora ya hay dos restricciones en x 3 , a saber
x 3 1
y
x 3 C 7
Para tener la certeza de que ambas desigualdades se cumplen, haga que d sea la más
pequeña de los dos números 1 y e7. La notación para esto es d mín1, e7.
2. Demostración de que esta d funciona. Dado e 0, sea d mín1, e7. Si 0
x 3 d, entonces x 3 1 ? 2 x 4 ? x 3 7 (como en la parte 1).
También tiene que x 3 e7, de modo que
x 2 9 x 3 x 3 7 7
Esto demuestra que lím xl3 x 2 9.
Como se observa en el ejemplo 4, no siempre es fácil demostrar que son verdaderos
los enunciados de límite usando la definición e, d. En efecto, si tiene una función más
complicada como fx 6x 2 8x 92x 2 1, una demostración requeriría una gran