calculo-de-una-variable-1

166 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
10. Suponga que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta
con posición f(t) en el instante t. Escriba una expresión para la
velocidad instantánea de un objeto en el instante
t a. ¿Cómo puede interpretar esta velocidad en términos de
la gráfica de f?
11. Si y f(x) y x cambia de x 1 a , escriba expresiones para lo
siguiente:
(a) La razón promedio de cambio de y con respecto a x a lo
largo del intervalo x 1, x 2.
(b) La razón instantánea de cambio de y con respecto a x en
x x 1 .
12. Defina la derivada f(a). Analice dos maneras de interpretar
este número.
x 2
13. Defina la segunda derivada de f. Si f(x) es la función de
posición de una partícula, ¿cómo puede interpretar la
segunda derivada?
14. (a) ¿Qué significa que f sea derivable en a?
(b) ¿Cuál es la relación entre la derivabilidad y la
continuidad de una función?
(c) Trace la gráfica de una función que es continua pero no
derivable en a 2.
15. Describa varias maneras en que una función puede no ser derivable.
Ilustre con bocetos.
PREGUNTAS DE VERDADERO-FALSO
Determine si la proposición es verdadera o falsa. Si es verdadera explique
por qué. Si es falsa, explique por qué o dé un ejemplo que refute la
proposición.
1.
2.
3.
lím
x l4 2x
x 4 8 lím
x 4 x l4
x 2 6x 7
lím
x l1
lím x 2 6x 7
x 2 5x 6 x l1
x 2 5x 6
x 3
lím
x l1 x 2 2x 4
lím
x l1
2x
x 4 lím
x l4
lím x 3
x l1
lím x 2 2x 4
x l1
4. Si lím x l 5 f x 2 y lím x l 5 tx 0, entonces
lím x l 5 f xtx no existe.
5. Si lím x l5 f x 0 y lím x l 5 tx 0, entonces
lím x l 5 f xtx no existe.
6. Si lím x l 6 f xtx existe, entonces el límite tiene que ser
f 6t6.
7. Si p es un polinomio, entonces lím x l b px pb.
8. Si lím x l 0 f x y lím x l 0 tx , luego
lím x l 0 f x tx 0.
8
x 4
11. Si la recta x 1 es una asíntota vertical de y f(x), entonces
f no está definida en 1.
12. Si f 1 0 y f 3 0, entonces existe un número c entre 1 y
3 tal que f(c) 0.
13. Si f es continua en 5 y f(5) 2 y f(4) 3, entonces
lím x l 2 f 4x 2 11 2.
14. Si f es continua en 1, 1 y f 1 4 y f 1 3, entonces
existe un número r tal que y f r .
15. Sea f una función tal que lím x l 0 f x 6. Entonces existe un
número tal que si , entonces .
16. Si f x 1 para toda x y lím x l 0 f x entonces
lím x l 0 f x 1.
17. Si f es continua en a, entonces f es derivable en a.
18. Si f r existe, entonces lím x l r f x f r.
19.
d 2 y
dx dy
dx2
2
r 1
0 x
f x 6 1
20. La ecuación x 10 10x 2 5 0 tiene una raíz en el
intervalo (0, 2)
9. Una función puede tener dos asíntotas horizontales distintas.
10. Si f tiene un dominio 0, y no tiene asíntota horizontal
entonces lím x l f x o lím x l f x .