calculo-de-una-variable-1

x b a
La integral definida f x dx, es un número; que no depende de x. De hecho,
podría utilizar cualquier letra en lugar de x, sin cambiar el valor de la integral:
NOTA 2
SECCIÓN 5.2 LA INTEGRAL DEFINIDA |||| 367
y b
a
f x dx y b
f t dt y b
f r dr
a
a
NOTA 3
La suma
n
f x* i x
i1
RIEMANN
Bernhard Riemann recibió su doctorado en
Filosofía bajo la dirección del legendario
Gauss, en la Universidad de Göttingen, y permaneció
allí para enseñar. Gauss, quien no
tenía el hábito de elogiar a otros matemáticos,
habló de “la mente creativa, activa, en verdad
matemática y la gloriosamente fértil originalidad”
de Riemann. La definición (2) de integral
se debe a Riemann. También hizo colaboraciones
importantes a la teoría de funciones de una
variable compleja, a la fisicomatemática, a
la teoría de números y a los fundamentos de la
geometría. El amplio concepto de Riemann del
espacio y de la geometría resultó ser, 50 años
más tarde, el apoyo correcto para la teoría
general de la relatividad de Einstein. La salud
de Riemann fue mala durante toda su vida y
murió de tuberculosis a los 39 años.
que se presenta en la definición 2 se llama suma de Riemann, en honor del matemático
alemán Bernhard Riemann (1826-1866). De tal manera que la definición 2 menciona
que la integral definida de una función integrable pueda aproximarse dentro de cualquier
grado de exactitud mediante la suma de Riemann.
Sabemos que si f es positiva, entonces la suma de Riemann puede interpretarse como
una suma de áreas de los rectángulos de aproximación (véase la figura 1). Al comparar
la definición 2 con la definición de área de la sección 5.1, tiene que la integral definida
x b f x dx se puede interpretar como el área bajo la curva y f(x), desde a hasta b (véase
a
la figura 2).
y
Îx
y
y=ƒ
0
a
x i
*
b
x
0
a
b
x
FIGURA 1
Si ƒ˘0, la suma de Riemann μ f(x i
*) Îx
es la suma de las áreas de los rectángulos
FIGURA 2
b
Si ƒ˘0, la integral j ƒ dx es el área
a
bajo la curva y=ƒ desde a hasta b
y
0
y=ƒ
+ +
a
_
b x
FIGURA 3
μ f(x i
*) Îx es una aproximación
al área neta
Si f toma valores tanto positivos como negativos, como en la figura 3, entonces la suma
de Riemann es la suma de las áreas de los rectángulos que se encuentran arriba del eje x y
los negativos de las áreas de los rectángulos que están debajo del eje x(las áreas de los rectángulos
en color oro menos las áreas de los rectángulos en color azul). Cuando toma el
límite de esas sumas de Riemann, obtiene la situación que se ilustra en la figura 4. Una
integral definida puede interpretarse como un área neta, es decir, una diferencia de áreas:
y b
f x dx A 1 A 2
a
y
0
+
a
y=ƒ
_
FIGURA 4
b
j ƒ dx es el área neta
a
+
b
x
donde A 1 es el área de la región arriba del eje x y debajo de la gráfica de f y A 2 corresponde
a la región debajo del eje x y arriba de la gráfica de f.
x b a
NOTA 4 Aunque ha definido f x dx dividiendo a, b en subintervalos del mismo ancho,
hay situaciones en las que resulta ventajoso trabajar con intervalos de ancho desigual.
Por ejemplo, en el ejercicio 14 de la sección 5.1, la NASA proporcionó datos de velocidad
en tiempos que no estaban igualmente espaciados, pero aun así fue capaz de estimar la
distancia recorrida. Y existen métodos para la integración numérica que aprovechan los subintervalos
desiguales.