calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 5.4 INTEGRALES INDEFINIDAS Y EL TEOREMA DEL CAMBIO TOTAL |||| 395
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Si C(x) es el costo de producir x unidades de un artículo, entonces el costo
marginal es la derivada C(x). De esa manera
y x2
x1
Cx dx Cx 2 Cx 1
■
es el incremento en el costo cuando la producción aumenta de x 1 unidades hasta
x 2 unidades.
Si un objeto se mueve a lo largo de una línea recta con función de posición
s(t), entonces su velocidad es v(t) s(t), de modo que
2
y t2
vt dt st 2 st 1
t1
3
■
es el cambio de la posición, o desplazamiento, de la partícula durante el periodo
desde t 1 hasta t 2 . En la sección 5.1 se infirió que esto era verdadero para el caso
en que el objeto se mueve en la dirección positiva, pero ahora ha probado que
siempre es verdadero.
Si quiere calcular la distancia recorrida durante el intervalo, tiene que considerar
los intervalos cuando v(t) 0 (la partícula se mueve hacia la derecha)
y también los intervalos cuando v(t) 0 (la partícula se mueve hacia la izquierda).
En ambos casos la distancia se calcula al integrar v(t), la magnitud
de la rapidez. Por consiguiente
En la figura 3 se muestra cómo interpretar el desplazamiento y la distancia recorrida
en términos de las áreas debajo de una curva de velocidad.
√
y t2
t1
vt dt distancia total recorrida
√(t)
A¡
A£
0 t¡ t t
desplazamiento=
distancia=
t¡
t
t
t) ¡-A+A£
|√(t | dt=A¡+A+A£
FIGURA 3
■ La aceleración del objeto es at vt, por eso
y t2
es el cambio en la velocidad, desde el instante t 1 hasta el t 2 .
V EJEMPLO 6 Una partícula se mueve a lo largo de una recta de modo que su velocidad
en el instante t es vt t 2 t 6 (medida en metros por segundo).
(a) Encuentre el desplazamiento de la partícula durante el periodo 1 t 4.
(b) Halle la distancia recorrida durante este periodo.
SOLUCIÓN
(a) Por la ecuación 2, el desplazamiento es
t1
at dt vt 2 vt 1
s4 s1 y 4
vt dt y 4
t 2 t 6 dt
1
t 3
3 t 2
4
2 6t 1
9 2
Esto significa que la partícula se desplaza 4.5 m hacia la izquierda.
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