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230 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
el agua fluye hacia adentro o hacia afuera de un depósito. Un geógrafo urbano se interesa en
la razón de cambio de la densidad de población en una ciudad, al aumentar la distancia al
centro de la propia ciudad. Un meteorólogo siente interés por la razón de cambio de la
presión atmosférica con respecto a la altura. (Véase el ejercicio 17, de la sección 3.8.)
En psicología, quienes se interesan en la teoría del aprendizaje estudian la curva del
aprendizaje, la cual presenta en forma de gráfica el rendimiento P(t) de alguien que aprende
una habilidad, como función del tiempo de capacitación t. Tiene un interés particular la
rapidez a la cual mejora el rendimiento a medida que pasa el tiempo; es decir, dPdt.
En sociología, el cálculo diferencial se aplica al análisis del esparcimiento de rumores
(o de innovaciones, novedades o modas). Si p(t) denota la proporción de una población
que conoce un rumor en el momento t, por lo tanto la derivada dpdt denota la rapidez de
esparcimiento de ese rumor. (Véase el ejercicio 82 de la sección 3.4.)
UNA SOLA IDEA, VARIAS INTERPRETACIONES
La velocidad, la densidad, la corriente, la potencia y el gradiente de temperatura, en física; la
velocidad de reacción y la compresibilidad, en química; la rapidez de crecimiento y el gradiente
de velocidad de la sangre, en biología; el costo marginal y la utilidad marginal, en economía;
la rapidez de flujo del calor, en geología; la rapidez de mejora del rendimiento, en
psicología, y la rapidez de esparcimiento de un rumor, en sociología, son casos especiales
de un concepto matemático: la derivada.
Ésta es una ilustración del hecho de que parte del poder de las matemáticas descansa en
su abstracción. Un solo concepto matemático abstracto (como la derivada) puede tener
interpretaciones diferentes en cada ciencia. Cuando desarrolle las propiedades del concepto
matemático, de una vez y por todas, podrá dar la vuelta y aplicar estos resultados a
todas las ciencias. Esto es mucho más eficiente que desarrollar propiedades de conceptos
especiales en cada una por separado. El matemático francés Joseph Fourier (1768-1830)
lo expresó de manera sucinta: “Las matemáticas comparan los fenómenos más diversos y
descubren las analogías secretas que los unen.”
3.7
EJERCICIOS
1–4 Una partícula se mueve según una ley del movimiento s f t,
t 0, donde t se mide en segundos y s en pies.
(a) Encuentre la velocidad en el instante t.
(b) ¿Cuál es la velocidad después de 3 s?
(c) ¿Cuándo está la partícula en reposo?
(d) ¿Cuándo se mueve hacia la dirección positiva?
(e) Encuentre la distancia total recorrida durante los
primeros 8 s.
(f) Dibuje un diagrama, como el de la figura 2, con el fin de ilustrar
el movimiento de la partícula.
(g) Hallar la aclaración en el tiempo t y después de 3 s.
; (h) Grafique las funciones de posición, velocidad, yaceleración
para 0 t 8.
(i) ¿Cuándo aumenta su rapidez la partícula? ¿cuándo
disminuye.
1.
f t t 3 12t 2 36t
2.
3. f t cospt/4, t 10 4.
f t 0.01t 4 0.04t 3
t/2
f t te
5. Se exhiben las gráficas de los funciones velocidad de dos partículas,
donde t se mide en segundos ¿Cuándo incrementa su rapidez
cada partícula? Cuándo disminuyen su rapidez? Explique
(a)
6. Se exhiben las funciones de posición de dos partículas, donde t se
mide en segundos ¿Cuándo incrementa su rapidez cada una de las
partícula? ¿cuándo la disminuyen? Explique.
(a)
√
0 1 t 0 1
t
s
(b)
(b)
0 1 t 0 1
t
7. La función de posición de una partícula está dada por
s t 3 4.5t 2 7t, t 0
(a) ¿Cuándo alcanza la partícula una velocidad de 5 m/s?
(b) ¿Cuándo la aceleración es 0? ¿Cuál es el significado de este
valor de t?
√
s