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SECCIÓN 4.4 FORMAS INDETERMINADAS Y LA REGLA DE L’HOSPITAL |||| 299
gunos límites de este tipo. Para las funciones racionales, puede cancelar los factores
comunes:
Aplique un argumento geométrico para demostrar que
Pero estos métodos no funcionan para límites como el (1) de modo que, en esta sección,
se presenta un método sistemático, conocido como regla de l’Hospital, para la evaluación
de formas indeterminadas.
Se tiene otra situación en que un límite no es obvio cuando busca una asíntota horizontal
de F y necesita evaluar el límite
2
lím
x l1
x 2 x
x 2 1 lím
x l1
xx 1
x 1x 1 lím
x l1
sen x
lím 1
x l 0 x
lím
x l
ln x
x 1
No es evidente cómo evaluar este límite porque el numerador y el denominador se hacen
grandes cuando x l . Hay una lucha entre el numerador y el denominador. Si gana el numerador,
el límite será ; si gana el denominador, la respuesta será 0. O puede haber un término
medio, en cuyo caso la respuesta puede ser algún número positivo finito.
En general, si tiene un límite de la forma
lím
x l a
f x
tx
x
x 1 1 2
donde tanto f x l (o ) y tx l (o ), entonces el límite puede existir o no y
se conoce como forma indeterminada del tipo . En la sección 2.6 vio que este tipo
de límite se puede evaluar para ciertas funciones, incluso las racionales, al dividir el numerador
y el denominador entre la mayor potencia de x que se presenta en el denominador.
Por ejemplo,
lím
x l
1 1 x 2 1
2x 2 1 lím x 2
x l
2 1 1 0
2 0 1 2
x 2
Este método no funciona para límites como el (2), pero también puede aplicarse la regla
de l’Hospital a este tipo de forma indeterminada.
L’HOSPITAL
Se le nombre la regla de l’Hôspital en honor al
Marqués de l´Hôspital (1661-1704) pero fue
descubierta por un matemático suizo, John
Bernoulli (1667-1748). Algunas veces podría
ver l’Hôspital escrito como l’Hôspital, pero él
escribió su propio nombre l’Hôspital como era
común en el siglo XVII. Véase Redacción de un
proyecto, pág. 307, para más detalles.
REGLA DE l’HOSPITAL Suponga que f y t son funciones derivables y que tx 0
en un intervalo abierto I que contiene a (excepto quizás en a). Suponga que
lím f x 0 y tx 0
x l a x l a
o que
lím
lím f x
x l a
(En otras palabras, tiene una forma indeterminada del tipo
lím
x l a
y
f x
tx lím
x l a
lím tx
x l a
f x
tx
0
0
o del .) Entonces
si el límite en el lado derecho existe (o es o es ).