calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 4.3 MANERA EN QUE LAS DERIVADAS AFECTAN LA FORMA DE UNA GRÁFICA |||| 295
4.3
EJERCICIOS
1–2 Mediante la gráfica de f que se proporciona determine lo siguiente:
(a) Los intervalos abiertos en los cuales f es creciente.
(b) Los intervalos abiertos en los cuales f es decreciente.
(c) Los intervalos abiertos en los cuales f es cóncava hacia arriba.
(d) Los intervalos abiertos en los cuales f es cóncava hacia abajo.
(e) Las coordenadas de los puntos de inflexión.
1. y
2. y
(c) ¿Sobre cuáles intervalos f es cóncava hacia arriba o cóncava
hacia abajo? Explique.
(d) ¿Cuáles son las coordenadas x de los puntos de inflexión de
f? ¿Por qué?
y
y=fª(x)
0 1 3 5 7 9 x
3. Suponga que se le da una fórmula para una función f.
(a) ¿Cómo determina dónde f es creciente o decreciente?
(b) ¿Cómo determina en dónde la gráfica de f es cóncava hacia
arriba o cóncava hacia abajo?
(c) ¿Cómo localiza los puntos de inflexión?
4. (a) Enuncie la prueba de la primera derivada.
(b) Enuncie la prueba de la segunda derivada. ¿En cuáles circunstancias
no es concluyente? ¿Qué haría si falla?
5–6 Se ilustra la gráfica de la derivada f de una función f.
(a) ¿En qué intervalos f es creciente o decreciente?
(b) ¿En qué valores de x la función f tiene un máximo local o un
mínimo local?
5.
7.
y
1
0 1
x
0
y=fª(x)
2 4 6 x
6.
Se muestra la gráfica de la segunda derivada f de una función f.
Dé las coordenadas x de los puntos de inflexión de f. Exprese
las razones que fundamentan sus respuestas.
y
y=f·(x)
0 2 4 6 8 x
y
0
1
0 1
x
y=fª(x)
2 4 6 x
9–18
(a) Encuentre los intervalos sobre los cuales f es creciente o
decreciente.
(b) Halle los valores máximos y mínimos locales de f.
(c) Encuentre los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión.
9. f x 2x 3 3x 2 36x
10. f x 4x 3 3x 2 6x 1
11.
f x x 4 2x 2 3
x2
12.
13.
f x
x 2 3
f x sen x cos x,
0 x 2
14. f x cos 2 x 2 sen x,
0 x 2
15. f x e 2x e x 16. f x x 2 ln x
17. f x ln xsx
18. f x sxe x
19–20 Encuentre los valores máximos y mínimos locales de f
utilizando las pruebas de la primera y la segunda derivadas. ¿Cuál
método prefiere?
19. f x x 5 5x 3 20. f x
x
x 2 4
21. f x x s1 x
22. (a) Halle los números críticos de fx x 4 x 1 3 .
(b) ¿Qué le dice la prueba de la segunda derivada con respecto
al comportamiento de f sobre estos puntos críticos?
(c) ¿Qué le dice la prueba de la segunda derivada?
23. Suponga que f es continua sobre , .
(a) Si f 2 0 y f 2 5, ¿qué puede usted decir acerca
de f?
(b) Si f 6 0 y f 6 0, ¿qué puede usted decir acerca
de f?
24–29 Trace la gráfica de una función que cumple todas las condiciones
dadas.
24. f x 0 para toda x 1, asíntota vertical x 1,
f x 0 si x 1 o x 3, f x 0 si 1 x 3
8. Se ilustra la gráfica de la primera derivada f de una función f.
(a) ¿Sobre cuáles intervalos f es creciente? Explique.
(b) ¿En cuáles valores de x tiene f un máximo o un mínimo locales?
Explique.
25.
f 0 f 2 f 4 0,
f x 0 si x 0 o 2 x 4,
f x 0 si 0 x 2 o x 4,
f x 0 si 1 x 3, f x 0 si x 1 o x 3