calculo-de-una-variable-1

PROBLEMAS ADICIONALES
y
y=≈
Q
P
0
FIGURA PARA EL PROBLEMA 4
A
P
B
M
FIGURA PARA EL PROBLEMA 10
C
x
2x 1 2x 1
3. Evalúe lím
.
x l 0 x
4. En la figura se muestra un punto P, en la parábola y x 2 y el punto Q donde la mediatriz de
OP interseca al eje y. Conforme P se aproxima al origen, a lo largo de la parábola, ¿qué
sucede con Q? ¿Tiene una posición límite? Si es así, encuéntrela.
x
5. Si x denota la función entero, encuentre lím
x l
.
x
6. Dibuje la región en el plano definida por cada una de las ecuaciones siguientes.
(a) x 2 y 2 1 (b) x 2 y 2 3 (c) x y 2 1 (d) x y 1
7. Encuentre todos los valores de a tales que f sea continua en :
f x x 1
x 2
si x a
si x a
8. Un punto fijo de una función f es un número c en su dominio tal que f c c. (La función
no mueve a c; éste permanece fijo.)
(a) Dibuje la gráfica de una función continua con dominio 0, 1 cuyo rango también se
encuentre en 0, 1. Localice un punto fijo de f .
(b) Intente graficar una función continua con dominio 0, 1 y rango en 0, 1 que no tenga un
punto fijo. ¿Cuál es el obstáculo?
(c) Use el teorema de valor intermedio para comprobar que cualquier función continua con
dominio 0, 1 y rango en 0, 1 tiene que tener un punto fijo.
9. Si lím x l a f x tx 2 y lím x l a f x tx 1, encuentre lím x l a f xtx.
10. (a) En la figura se muestra un triángulo isósceles ABC con B C. La bisectriz del
ángulo B interseca el lado AC en el punto P. Suponga que la base BC permanece fija, pero
que la altura AM del triángulo tiende a 0, de modo que A se aproxima al punto medio M
de BC. ¿Qué sucede con P durante este proceso? ¿Tiene una posición límite? Si es así,
encuéntrela.
(b) Intente trazar la trayectoria recorrida por P durante este proceso. A continuación halle la
ecuación de esta curva y úsela para dibujarla.
11. (a) Si parte de la latitud 0° y avanza en dirección oeste, puede denotar con Tx
la temperatura en el punto x en cualquier tiempo dado. Suponga que T es una función
continua de x, y demuestre que, en cualquier tiempo fijo, existen por lo menos dos
puntos opuestos sobre el ecuador que tienen exactamente la misma temperatura.
(b) ¿El resultado del inciso (a) se cumple para puntos que estén sobre cualquier círculo sobre
la superficie de la Tierra?
(c) ¿El resultado del inciso (a) se cumple para la presión barométrica y para la altitud arriba
del nivel del mar?
12. Si f es una función derivable y tx xfx, use la definición derivada para demostrar que
tx xfx f x.
13. Suponga que f es una función que satisface f x y f x f y x 2 y xy 2 para todos
los números reales x y y. Suponga también que
lím
x l 0
f x
x
1
(a) Encuentre f 0. (b) Encuentre f 0. (c) Encuentre f x.
f x x 2
14. Suponga que f es una función con la propiedad de que para toda x. Muestre que
f 0 0. Enseguida, muestre que f 0 0.
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