calculo-de-una-variable-1

334 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
si los discos superior y del fondo se cortan a partir de cuadrados de lado 2r (como en la figura),
esto genera una cantidad de metal de desecho considerable, el cual puede reciclarse pero
que tiene poco o ningún valor para quienes fabrican latas. Si éste es el caso, demuestre que se
minimiza la cantidad de metal usado cuando
Discos cortados de cuadrados
Discos cortados de hexágonos
h
r 8 2.55
2. Se obtiene un apiñamiento más eficiente de los discos dividiendo la hoja metálica en hexágonos
y luego cortar las tapas y bases circulares a partir de ellos (véase la figura). Demuestre que,
si se adopta esta estrategia, en tal caso
h
r 4s3 2.21
3. Los valores de hr que se encontraron en los problemas 1 y 2 están un poco más cercanos a los
que se encuentran en los anaqueles del supermercado, pero todavía no toman en cuenta todo.
Si mira con más atención algunas latas reales, la tapa y la base se forman a partir de discos con
radios más grandes que r, los cuales se doblan sobre los extremos de la lata. Si toma en cuenta
esto, incrementa hr. Lo que es más significativo, además del costo del metal, necesita incorporar
la fabricación de la lata al costo. Suponga que se incurre en la mayor parte del desembolso
al unir los costados a los bordes de las latas. Si corta los discos a partir de hexágonos, como en
el problema 2, después el costo es proporcional a
4s3 r 2 2rh k4r h
donde k es el recíproco de la longitud que se puede unir para el costo de una unidad de área de
metal. Demuestre que esta expresión se minimiza cuando
s 3 V
k
h
r
2 hr
hr 4s3
; 4. Trace la gráfica de s 3 Vk como función de x hr y úsela para argumentar que cuando una
lata es grande o realizar la unión es barato, debe hacer que hr sea aproximadamente igual a
2.21 (como en el problema 2). Pero cuando la lata es pequeña o unir resulta costoso, hr tiene
que ser apreciablemente mayor.
5. El análisis hace ver que las latas grandes deben ser casi cuadradas y las pequeñas altas y delgadas.
Eche una mirada a las formas relativas de las latas en un supermercado. ¿La conclusión
suele ser cierta en la práctica? ¿Hay excepciones? ¿Puede sugerir las razones por las que las
latas pequeñas no siempre son altas y delgadas?
4.8
MÉTODO DE NEWTON
Suponga que un distribuidor de automóviles le ofrece uno en $18 000 al contado o en pagos
de $375 al mes durante cinco años. A usted le gustaría saber qué tasa de interés le está cargando
el distribuidor. Para hallar la respuesta, tiene que resolver la ecuación
1
48x1 x 60 1 x 60 1 0
(Los detalles se explican en el ejercicio 41.) ¿Cómo podría resolver una ecuación de este
tipo?
Para una ecuación cuadrática ax 2 bx c 0, existe una fórmula bien conocida para
las raíces. Para las ecuaciones de tercer y cuarto grados también existen fórmulas para las raíces,
pero son en extremo complicadas. Si f es un polinomio de grado 5 o superior, no existe