calculo-de-una-variable-1

PRESENTACIÓN PRELIMINAR DEL CÁLCULO |||| 3
A¡
A∞
A
A£
A¢
A=A¡+A+A£+A¢+A∞
FIGURA 1
EL PROBLEMA DEL ÁREA
Los orígenes del cálculo se remontan a unos 2 500 años, hasta los antiguos griegos, quienes
hallaron áreas aplicando el “método del agotamiento”. Sabían cómo hallar el área A de
cualquier polígono al dividirlo en triángulos como en la figura 1, y sumar las áreas de estos
triángulos.
Hallar el área de una figura curva es un problema mucho más difícil. El método griego
del agotamiento consistía en inscribir polígonos en la figura y circunscribir otros polígonos
en torno a la misma figura y, a continuación, hacer que el número de lados de los polígonos
aumentara. En la figura 2 se ilustra este proceso para el caso especial de un círculo con
polígonos regulares inscritos.
A£
A¢
A∞
Aß
A
A¡
FIGURA 2
Sea A n el área del polígono inscrito con n lados. Al aumentar n, parece que A n se aproxima
cada vez más al área del círculo. El área del círculo es el límite de las áreas de los polígonos
inscritos y
TEC El Preview Visual es una investigación
numérica y gráfica de la aproximación
del área de un círculo mediante polígonos
inscritos y circunscritos.
A lím
n l
A n
Los griegos no aplicaron explícitamente los límites. Sin embargo, por razonamiento indirecto
Eudoxo (siglo v a. C.) utilizó el agotamiento para probar la conocida fórmula del área
de un círculo: A r 2 .
El capítulo 5 expone una idea semejante para hallar las áreas de regiones del tipo que se
muestra en la figura 3. Se da una aproximación del área deseada A por medio de áreas de rectángulos
(como en la figura 4), hasta que disminuya el ancho de los rectángulos y, en seguida,
se calcula A como el límite de estas sumas de áreas de rectángulos.
y
y
y
y
(1, 1)
(1, 1)
(1, 1)
(1, 1)
y=≈
A
0 1 x
0 1 1 3 1 x
4 2 4
0 1 x
0 1
1 x
n
FIGURA 3
FIGURA 4
El problema del área es el problema central de la rama del cálculo que se conoce como
cálculo integral. Las técnicas desarrolladas en el capítulo 5 para hallar áreas también
permiten calcular el volumen de un sólido, la longitud de una curva, la fuerza del agua
contra la cortina de una presa, la masa y el centro de gravedad de una varilla y el trabajo
que se lleva a cabo al bombear agua hacia afuera de un tanque.
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