calculo-de-una-variable-1

11.1
SUCESIONES
Se puede considerar que una sucesión es una lista de números escritos en un orden definido:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , . . . , a n , . . .
El número a 1 recibe el nombre de primer término, a 2 es el segundo término y, en general,
a n es el n-ésimo término. Aquí se trata exclusivamente con sucesiones infinitas, por lo que
cada término a n tiene un sucesor a n1 .
Observe que para todo entero positivo n hay un número correspondiente a n , por lo que
una sucesión se puede definir como una función cuyo dominio es el conjunto de enteros
positivos. Por lo regular, se escribe a n en lugar de la notación de función f(n) para el valor
de la función en el número n.
NOTACIÓN
La sucesión {a 1 , a 2 , a 3 ,...}también se denota mediante
a n
o
a n n1
(a)
(b)
EJEMPLO 1 Algunas sucesiones se pueden definir dando una fórmula para el término
n-ésimo. En los ejemplos siguientes se ofrecen tres descripciones de la sucesión: Una
en la que se aplica la notación anterior, en otra se aplica una fórmula definida y en la
tercera se escriben los términos de la sucesión. Observe que la n no tiene que empezar
en 1.
n
n 1n1
1n n 1
3 n
a n
n
n 1
a n 1n n 1
3 n
1 , 2 , 3 , 4 n
,...,
2 3 4 5 n 1 ,... 2 , 3 , 4 , 5 1 n n 1
,..., ,...
3 9 27 81 3 n
(c)
(d)
{sn 3} n3
cos n
6
n0
a n sn 3, n 3
a n cos n
6 , n 0
{0, 1, s2, s3, ..., sn 3, ...}
1, s3
2 , 1 2 , 0, ..., cos n
6 ,...
V
EJEMPLO 2 Encuentre una fórmula para el término general a n de la sucesión
3 , 4
5 25 , 5
125 , 6
625 , 7
3125 ,... y suponga que el patrón de los primeros términos continúa.
SOLUCIÓN Se sabe que
a 1 3 5
a 2 4
25
a 3 5
125
a 4 6
625
a 5 7
3125
Observe que los numeradores de estas fracciones empiezan con 3 y se incrementan una
unidad al pasar al siguiente término. El segundo término tiene numerador 4, el siguiente
numerador es 5; en general, el n-ésimo término tendrá como numerador n 2. Los
denominadores son las potencias de 5, de modo que a n tiene por denominador 5 n . El
signo de los términos es alternadamente positivo y negativo, por lo que es necesario
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