calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 11.1 SUCESIONES |||| 679
El teorema de la compresión también se puede adaptar a las sucesiones como sigue (véase
figura 7).
TEOREMA DE LA COMPRESIÓN
PARA LAS SUCESIONES.
b n
c n
a n
0 n
FIGURA 7
La sucesión hbnj es comprimida
entre las sucesiones hanj y hcnj
Si a n b n c n para n n 0 y lím a n lím c n L , entonces lím b n L .
n l n l n l
Otro hecho útil con respecto a los límites de sucesiones se proporciona en el teorema siguiente
cuya demostración se deja como ejercicio (ejercicio 75).
6 TEOREMA Si lím a n 0 , entonces lím a n 0.
n l n l
n
EJEMPLO 4 Determine lím .
n l n 1
SOLUCIÓN El método es similar al que se presenta en la sección 2.6: Se divide tanto el numerador
como el denominador entre la potencia más alta de n y luego se aplican las leyes
de los límites.
& Esto demuestra que la conjetura que
se hizo antes a partir de las figuras 1 y 2
era correcta.
lím
n l
n
n 1 lím
n l
1
1 0 1
En este caso se aplica la ecuación 4 con r 1.
1
1 1 n
lím 1
n l
lím 1 lím 1
n l n l n
ln n
EJEMPLO 5 Calcule lím .
n l n
SOLUCIÓN Observe que tanto el numerador como el denominador tienden al infinito cuando
n l . No se puede aplicar directamente la regla de l’Hospital porque no se aplica a
sucesiones, sino a funciones de una variable real. No obstante, se puede aplicar la regla
de l’Hospital a la función relacionada fx ln xx y obtener
ln x
lím
x l x
Por lo tanto, de acuerdo con el teorema 3
1x
lím
x l 1 0
ln n
lím
n l n 0
a n
1
0 1 2 3 4
n
_1
FIGURA 8
EJEMPLO 6 Determine si la sucesión a n 1 n es convergente o divergente.
SOLUCIÓN Si escribe los términos de la sucesión obtiene
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
La gráfica de esta sucesión se muestra en la figura 8. Como los términos oscilan entre
1 y 1 en forma infinita, a n no se aproxima a ningún número. Por lo tanto, lím n l 1 n
no existe; es decir, la sucesión 1 n es divergente.