calculo-de-una-variable-1

426 |||| CAPÍTULO 6 APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
EJEMPLO 4 La región encerrada por las curvas y x y y x 2 gira alrededor del
eje x. Calcule el volumen del sólido que resulta.
SOLUCIÓN Las curvas y x y y x 2 se cortan en los puntos 0, 0 y 1, 1. La región
entre ellas, el sólido de revolución y una sección transversal perpendicular al eje x se
muestran en la figura 8. Una sección transversal en el plano P x tiene la forma de una
rondana (un aro anular) de radio interior x 2 y radio exterior x, de modo que determina el
área de la sección transversal restando el área del círculo interno del área del
círculo externo:
Por lo tanto, tiene
V y 1
Ax dx y 1
x 2 x 4 dx
0
Ax x 2 x 2 2 x 2 x 4
0
x 3
3 x 5
1
50
2
15
y
y
y=x
(1, 1)
y=≈
A(x)
(0, 0)
x
0
x
x
≈
FIGURA 8
(a)
(b)
(c)
EJEMPLO 5 Calcule el volumen del sólido obtenido al girar la región del ejemplo 4 alrededor
de la recta y 2.
SOLUCIÓN El sólido y la sección transversal se muestran en la figura 9. Una vez más la
sección transversal es una rondana, pero ahora el radio interior es 2 x y el radio externo
es 2 x 2 .
TEC Visual 6.2B muestra cómo se
forman los sólidos de revolución.
y
4
2
y=2 y=2
2-≈
2-x
FIGURA 9
y=x
0
x
1
y=≈
x
≈
x
x
x