calculo-de-una-variable-1

56 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
El patrón de los puntos de información que aparece en la figura 8 sugiere crecimiento exponencial,
por eso es conveniente usar una calculadora graficadora con capacidad de regresión
exponencial para aplicar el método de mínimos cuadrados y obtener el modelo exponencial
La figura 9 muestra la gráfica de esta función exponencial con los puntos de información
originales. Observe que la curva exponencial coincide razonablemente bien con los datos.
El periodo de crecimiento relativamente lento de la población se explica mediante las dos
guerras mundiales y la Gran Depresión ocurrida en la década de los trienta.
P
6x10'
P 0.008079266 1.013731 t
FIGURA 9
Modelo exponencial para
crecimiento de la población
1900
1920 1940 1960 1980 2000
t
EL NÚMERO e
De todas las bases posibles para una función exponencial, existe una que es más conveniente
para los propósitos del cálculo. La elección de una base a se ve influida por la manera en
que la gráfica de y a x cruza el eje y. Las figuras 10 y 11 muestran las líneas tangentes a
las gráficas de y 2 x y y 3 x en el punto 0, 1. (Las líneas tangentes se definirán con precisión
en la sección 2.7. Para los propósitos actuales, puede imaginarse la línea tangente a
una gráfica exponencial en un punto como la recta que toca la gráfica sólo en ese punto.) Si
mide las pendientes de estas rectas tangentes en 0, 1, encontrará que m 0.7 para y 2 x
y m 1.1 para y 3 x .
y
y=2®
y y=3®
1
mÅ0.7
1
mÅ1.1
0
x
0
x
y
1
0
y=´
m=1
FIGURA 12
La función exponencial natural
cruza el eje y con una pendiente de 1
x
FIGURA 10
FIGURA 11
Como verá en el capítulo 3, resulta que algunas de las fórmulas del cálculo se simplificarán
en gran medida si elige la base a de manera que la pendiente de la línea tangente a
y a x en 0, 1 sea exactamente 1 (véase la figura 12). De hecho, existe tal número y es
denotado por la letra e. (Esta notación la escogió el matemático suizo Leonhard Euler en
1727, probablemente porque es la primera letra de la palabra exponencial.) En vista de las
figuras 10 y 11, no causa sorpresa alguna que el número e se encuentre entre 2 y 3 y la gráfica
de y e x entre las gráficas de y 2 x y y 3 x . (Véase la figura 13.) En el capítulo
3 verá que el valor de e, correcto hasta cinco lugares decimales, es
e 2.71828