calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 11.2 SERIES |||| 689
& La figura 1 proporciona una demostración
geométrica del resultado del ejemplo 1. Si los
triángulos se construyen como se indica y s es
la suma de la serie, después, por triángulos
semejantes
s
a a
a ar
por lo que s a
1 r
ar#
ar@
Cada término se obtiene a partir del término precedente y se multiplica por la razón
común r. (Ya se consideró el caso especial cuando a 1 2 y de la página 687).
Si r 1, en consecuencia s n a a a na l . Puesto que
lím nl s n no existe, la serie geométrica diverge en este caso.
Si r 1,
y
Al restar estas ecuaciones obtiene
s n a ar ar 2 ar n1 r 1 2
rs n ar ar 2 ar n1 ar n
a-ar
ar
ar@
ar
s
3
s n rs n a ar n
s n a1 r n
1 r
a
a
Si 1 r 1, sabe por (11.1.9) que r n l 0 cuando n l , de modo que
FIGURA 1
a
lím s a1 r n
n lím
n l n l 1 r
a
1 r a
1 r lím r n
n l
a
1 r
Por esto, cuando r 1, la serie geométrica es convergente y su suma es a1 r.
Si r 1 o bien, r 1, la sucesión r n es divergente de acuerdo con (11.1.9) y de
ese modo, según la ecuación 3, lím nl s n no existe. Por lo tanto, la serie geométrica diverge
en esos casos.
El resumen de los resultados del ejemplo 1 es como se señala a continuación.
4
La serie geométrica
ar n1 a ar ar 2
n1
& En palabras: la suma de la serie
geométrica convergente es
primer término
1 razón común
es convergente si r 1 y su suma es
ar n1
n1
a
1 r
Si r 1, la serie geométrica es divergente.
r 1
V
EJEMPLO 2 Calcule la suma de la serie geométrica
5 10 3 20 9 40
27
r 2 3 1
SOLUCIÓN El primer término es a 5 y la razón común es r 2 3. Como , la
serie es convergente según (4) y su suma es
5 10
3 20
9 40
27 5
1 ( 2 3) 5 5
3
3