calculo-de-una-variable-1

A20 |||| APÉNDICE C GRÁFICAS DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
EJEMPLO 5 Trace la gráfica de 9x 2 16y 2 144.
SOLUCIÓN Divida ambos lados de la ecuación entre 144.
b
y=_ a x
y
b
y= a x
(_a, 0) (a, 0)
0
FIGURA 9
9≈+16¥=144
x
La ecuación está ahora en la forma estándar para una elipse (2), de modo que a 2 16,
b 2 9, a 4, y b 3. Las intersecciones con el eje x son ±4; las intersecciones con el
eje y son ±3. La gráfica se ilustra en la figura 9.
x 2
(_4, 0)
HIPÉRBOLAS
La curva con ecuación
3
16 y 2
9 1
x 2
a 2 y 2
b 2 1
(4, 0)
0 x
se denomina hipérbola en posición estándar. De nuevo, la ecuación 3 no cambia cuando
x es sustituida por –x o y es sustituida por –y, de modo que la hipérbola es simétrica
con respecto a ambos ejes. Para hallar las intersecciones con el eje x haga y 0 y
obtiene x 2 a 2 y x a. No obstante, si pone x 0 en la ecuación 3, obtiene y 2 b 2 ,
lo cual es imposible, de modo que no hay intersección con el eje y. De hecho, de la
ecuación 3
y
(0, 3)
(0, _3)
FIGURA 10
≈ ¥
La hipérbola - =1
a@ b@
y=_
a
x
b
FIGURA 11
¥ ≈
La hipérbola - =1
a@ b@
y
0
(0, a)
(0, _a)
y= x
a
b
x
x 2
a 2 1 y 2
b 2 1
x sx 2 a
que muestra que x 2 a 2 y entonces
. Por lo tanto, x a o x a. Esto
significa que la hipérbola está formada por dos partes, llamadas ramas. Se ilustra en la
figura 10.
Al dibujar una hipérbola es útil trazar primero sus asíntotas, que son las rectas y (b/a)
y y (b/a)x que se ilustran en la figura 10. Ambas ramas de la hipérbola se aproximan
a las asíntotas, es decir, se acercan de manera arbitraria a las asíntotas. Esto involucra
la idea de un límite, que se estudia en el capítulo 2. (Véase también el ejercicio 69 en la
sección 4.5.)
Al intercambiar los papeles de x y y obtiene una ecuación de la forma
y 2
a 2 x 2
b 2 1
que también representa una hipérbola y se traza en la figura 11.