calculo-de-una-variable-1

48 |||| CAPÍTULO 1 FUNCIONES Y MODELOS
V EJEMPLO 4 Trace la gráfica de la función f(x) sen 50 x en un rectángulo de visualización
apropiada.
SOLUCIÓN En la figura 6(a) se ilustra la gráfica de f producida por una calculadora graficadora
usando un rectángulo de visualización 12, 12 por 1.5, 1.5. A primera vista,
la gráfica parece ser razonable. Pero si cambia el rectángulo de visualización a las que
se presentan en las siguientes partes de la figura 6, la gráfica se ve muy diferente. Algo
extraño está pasando.
1.5
1.5
_12 12
_10 10
& El aspecto de las gráficas de la figura 6
depende de la máquina que se use. Es posible
que las gráficas que obtenga con su dispositivo
graficador no se parezcan a estas figuras, pero
también serán bastante inexactas.
_1.5
(a)
1.5
_1.5
(b)
1.5
_9 9
_6 6
FIGURA 7
ƒ=sen 50x
FIGURA 6
Gráfica de f (x) = sen 50 x en cuatro
rectángulos de visualización
1.5
_.25 .25
_1.5
_1.5
(c)
Para explicar las grandes diferencias en el aspecto de estas gráficas y hallar un rectángulo
de visualización adecuado, necesita hallar el periodo de la función y sen 50 x.
Puntos que la función y sen x tiene el periodo 2p, y la gráfica de y sen 50 x se
comprime horizontalmente por un factor de 50, el periodo de y sen 50 x es
2
50 25 0.126
Esto sugiere que sólo debe tratar con valores pequeños de x con el fin de mostrar sólo
unas cuantas oscilaciones de la gráfica. Si elige el rectángulo de visualización 0.25,
0.25 por 1.5, 1.5, obtiene la gráfica que se muestra en la figura 7.
Ahora sabe en dónde estuvo el error en la figura 6. Las oscilaciones de y sen
50 x son tan rápidas que cuando la calculadora sitúa los puntos y los une, falla en la mayor
parte de los puntos máximos y mínimos y, en consecuencia, da una impresión muy
engañosa de la gráfica.
Ha visto que el uso de un rectángulo de visualización inadecuado puede proporcionar
una impresión engañosa de la gráfica de una función. En los ejemplos 1 y 3, resolvió el
problema al cambiar a un rectángulo de visualización más grande. En el ejemplo 4, tuvo
que reducirlo. En el ejemplo siguiente, verá una función para la que no existe un rectángulo
de visualización sencilla que revele la verdadera forma de la gráfica.
V EJEMPLO 5 Trace la gráfica de la función f x sen x 1
100 cos 100x.
_1.5
(d)
SOLUCIÓN En la figura 8 aparece la gráfica de f producida por una calculadora graficadora con
el rectángulo de visualización 6.5, 6.5 por 1.5, 1.5. Se ve muy semejante a la gráfica
de y sen x, pero con algunas protuberancias. Si realiza un acercamiento hacia el rectángulo
de visualización 0.1, 0.1 por 0.1, 0.1, puede ver con mucho mayor claridad