calculo-de-una-variable-1

104 |||| CAPÍTULO 2 LÍMITES Y DERIVADAS
Lo mejor para calcular algunos límites es hallar en primer lugar los límites por la izquierda
y por la derecha. El teorema siguiente es un recordatorio de lo que se descubrió en
la sección 2.2. Afirma que existe un límite bilateral si y sólo si los dos límites laterales
existen y son iguales.
1
TEOREMA
lím f x L
x l a
si y sólo si
lím f x L lím f x
xla
x la
Cuando calculamos un límite lateral aplicamos el hecho de que las Leyes de los Límites
también se cumplen para los límites de este tipo.
& Según la figura 3, el resultado del ejemplo 7
parece plausible.
y
y=|x|
EJEMPLO 7 Demuestre que lím .
SOLUCIÓN Recuerde que
Como x x para x 0, tiene
x l 0
x 0
x x x
si x 0
si x 0
0
x
lím x lím x 0
x l 0 x l 0
FIGURA 3
Para x 0, tiene x x y, por consiguiente,
lím x lím x 0
x l 0 x l 0
En consecuencia, por el teorema 1,
lím x 0
x l 0
V
EJEMPLO 8 Compruebe que
lím
x l 0
x
x
no existe.
y= |x|
x
y
1
0
_1
x
SOLUCIÓN
lím
x l 0
x
x
lím
x
x l 0 x
lím x
x l 0 x lím 1 1
x l 0
lím x
x l 0 x
lím 1 1
x l 0
FIGURA 4
Como los límites por la derecha y por la izquierda son diferentes, por el teorema 1
se concluye que lím xl 0 x x no existe. La figura 4 muestra la gráfica de la función
fx x x y apoya los límites laterales que encontró.
EJEMPLO 9 Si
f x sx 4
8 2x
si x 4
si x 4
determine si existe lím xl 4 fx.
& Se demuestra en el ejemplo 3 de la sección 2.4
que lím x l 0 sx 0.
SOLUCIÓN Puesto que
f x sx 4 para x 4, tiene
lím
x l 4
f x lím sx 4 s4 4 0
x l 4