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736 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
TAYLOR Y MACLAURIN
& La serie de Taylor lleva este nombre en honor
al matemático inglés Brook Taylor (1685-1731) y
la serie de Maclaurin se llama así para recordar al
matemático escocés Colin Maclaurin (1698-1746)
a pesar del hecho de que la serie de Maclaurin es
realmente un caso especial de la serie de Taylor.
Pero la idea de representar funciones particulares
como sumas de series de potencias se remonta a
Newton, y el matemático escocés James Gregory
conoció la serie general de Taylor en 1668 y el
matemático suizo John Bernoulli la conoció por
1690. Al parecer, Taylor no conocía el trabajo de
Gregory ni de Bernoulli cuando publicó sus descubrimientos
relacionados con las series en 1715 en
su libro Methodus incrementorum directa et inversa.
Las series de Maclaurin se llaman así porque
Colin Maclaurin las popularizó en su libro de
texto Treatise of Fluxions que se publicó en 1742.
La serie de la ecuación 6 se denomina serie de Taylor de la función f en a (o bien,
con respecto a a o centrada en a). Para el caso especial a 0 la serie de Taylor se
transforma en
7
f x
n0
f n 0
n!
x n f 0 f 0
1!
x f 0
2!
x 2
Como este caso surge con bastante frecuencia, se le da el nombre especial de serie de
Maclaurin.
NOTA Ya se demostró que si f se puede representar como una serie de potencias con
respecto a a, después f es igual a la suma de sus series de Taylor. Pero hay funciones que no
son iguales a la suma de sus series de Taylor. Un ejemplo de tales funciones se presenta en
el ejercicio 70.
V EJEMPLO 1 Determine la serie de Maclaurin de la función f x e x y su radio de
convergencia.
SOLUCIÓN Si f x e x , entonces f n x e x , por lo que f n 0 e 0 1 para toda n. Por
lo tanto, la serie de Taylor para f en 0, (es decir, la serie de Maclaurin), es
n0
f n 0
n!
x n
n0
x n
n! 1 x 1! x 2
2! x 3
3!
Para determinar el radio de convergencia haga a n x n n! En tal caso
por esto, según la prueba de la razón, la serie converge para toda x y el radio de convergencia
es R .
La conclusión que obtiene del teorema 5 y el ejemplo 1 es que si e x tiene un desarrollo
de serie en potencias en 0, por lo tanto
Por eso, ¿cómo se puede decir si e x tiene una representación como serie de potencias?
Investigue la cuestión más general: ¿en qué circunstancias es una función igual a la
suma de su serie de Taylor? En otras palabras, si f tiene derivadas de todos los órdenes,
cuándo es cierto que
Como sucede con cualquier serie convergente, esto quiere decir que f x es el límite de la
sucesión de sumas parciales. En el caso de la serie de Taylor, las sumas parciales son
T n x n
i0
a n1
a n
f i a
i!
f a f a
1!
x n1
n 1! n!
x n
x a i
f x
e x
n0
n0
f n a
n!
x a f a
2!
x n
n!
x
n 1 l 0 1
x a n
x a 2 f n a
n!
x a n