calculo-de-una-variable-1

424 |||| CAPÍTULO 6 APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN
SOLUCIÓN Si coloca la esfera de modo que su centro está en el origen (véase figura 4),
entonces el plano P x corta la esfera en un círculo cuyo radio (según el teorema de Pitágoras,
es y sr 2 x 2 . De este modo el área de la sección transversal es
Ax y 2 r 2 x 2
Si aplica la definición del volumen con a r y b r, tiene
V y r Ax dx y r r 2 x 2 dx
r
r
2 y r
r 2 x 2 dx
2r 2 x x 3
4 3 r 3
0
r
30
2r 3 r 3
3
(El integrando es una función par.)
En la figura 5 se ilustra la definición de volumen cuando el sólido es una esfera de radio
r 1. De acuerdo con el resultado del ejemplo 1, sabe que el volumen de la esfera es
4
3 4.18879. En este caso, las rebanadas son cilindros circulares, o discos, y las tres partes
de la figura 5 muestran las interpretaciones geométricas de las sumas de Riemann
n
Ax i x n
1 2 x 2 i x
i1
i1
TEC En Visual 6.2A se muestra una
animación de la figura 5.
cuando n 5, 10 y 20 si escoge los puntos muestrales x*
i como los puntos medios x i .
Observe que cuando incrementa la cantidad de cilindros de aproximación, las sumas correspondientes
de Riemannn se vuelven más cercanas al volumen verdadero.
(a) Mediante 5 discos, VÅ4.2726 (b) Mediante 10 discos, VÅ4.2097 (c) Mediante 20 discos, VÅ4.1940
FIGURA 5 Aproximaciones del volumen de una esfera con radio 1
V EJEMPLO 2 Determine el volumen de un sólido que se obtiene al girar la región bajo
la curva y sx con respecto al eje x desde 0 hasta 1. Ilustre la definición de volumen
dibujando un cilindro de aproximación representativo.
SOLUCIÓN La región se muestra en la figura 6(a). Si gira alrededor del eje x, obtiene el sólido
que se ilustra en la figura 6(b). Cuando corta a través de punto x obtiene un disco de
radio sx. El área de esta sección transversal es
Ax (sx) 2 x
y el volumen del cilindro de aproximación, un disco cuyo espesor es x, es
Ax x x x