calculo-de-una-variable-1

394 |||| CAPÍTULO 5 INTEGRALES
APLICACIONES
La parte 2 del teorema fundamental establece que si f es continua en a, b, entonces
y b
f x dx Fb Fa
a
donde F es cualquier antiderivada de f. Esto significa que F f , de forma que se puede
volver a escribir la ecuación como
y b
Fx dx Fb Fa
a
Sabe que Fx representa la relación de cambio de y F(x) con respecto a x y F(b)
F(a) es el cambio en y cuando x cambia de a hacia b. Advierta que y podría, por ejemplo,
incrementarse y luego decrecer de nuevo. Si bien y podría cambiar en ambas direcciones,
F(b) F(a) representa el cambio total en y. De manera que puede volver a plantear
verbalmente FTC2 en los términos siguientes:
TEOREMA DEL CAMBIO TOTAL
La integral de una relación de cambio es el cambio total:
Este principio se puede aplicar a todas las relaciones de cambio en las ciencias naturales
y sociales que se analizaron en la sección 3.7. Enseguida se dan unos cuantos ejemplos
de esta idea:
■
y b
Fx dx Fb Fa
a
Si V(t) es el volumen de agua en un depósito, en el instante t, entonces su
derivada Vt es la proporción a la cual fluye el agua hacia el depósito en el
instante t. Por eso,
y t2
t1
Vt dt Vt 2 Vt 1
■
es el cambio en la cantidad de agua en el depósito entre los instantes t 1 y t 2 .
Si C(t) es la concentración del producto de una reacción química en el instante
t, entonces la velocidad de reacción es la derivada dCdt. De tal manera,
y t2
t1
dC
dt
dt Ct 2 Ct 1
es el cambio en la concentración de C, desde el instante t 1 hasta el t 2.
■ Si la masa de una varilla, medida desde el extremo izquierdo hasta un punto x,
es m(x), entonces la densidad lineal es x mx. Por consiguiente,
y b
x dx mb ma
a
■
es la masa del segmento de la varilla entre x a y x b.
Si la rapidez de crecimiento de una población es dndt, entonces
y t2
t1
dn
dt dt nt 2 nt 1
es el cambio total en la población durante el periodo desde t 1 hasta t 2 .
(La población aumenta cuando ocurren nacimientos y disminuye cuando se
suscitan muertes. El cambio total toma en cuenta tanto nacimientos como
decesos.)