calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 7.6 INTEGRACIÓN POR MEDIO DE TABLAS Y SISTEMAS ALGEBRAICOS |||| 491
Al combinar estos cálculos, se obtiene
y x 3 sen x dx x 3 cos x 3x 2 sen x 6x cos x 6 sen x C
donde C 3K.
V
EJEMPLO 4 Use la tabla de integrales para hallar y xsx 2 2x 4 dx.
SOLUCIÓN Puesto que la tabla da formas relacionadas con sa 2 x 2 , sa 2 x 2 , y sx 2 a 2 ,
pero no sax 2 bx c, primero se completa el cuadrado:
x 2 2x 4 x 1 2 3
Si se hace la sustitución u x 1 (de modo que x u 1), el integrando se relacionará
con el patrón sa 2 u 2 :
y xsx 2 2x 4 dx y u 1 su 2 3 du
y usu 2 3 du y su 2 3 du
La primera integral se evalúa por medio de la sustitución t u 2 3:
y usu 2 3 du 1 2 y st dt 1 2 2 3 t 32 1 3u 2 3 32
21. y sa 2 u 2 du u 2 sa 2 u 2
a 2
2 ln(u sa 2 u 2 ) C
Para la segunda integral se usa la fórmula 21 con a s3:
y su 2 3 du u 2 su 2 3 3 2 ln(u su 2 3)
En estos términos,
y xsx 2 2x 4 dx
1 3x 2 2x 4 32 x 1
2
sx 2 2x 4 3 2 ln(x 1 sx 2 2x 4 ) C
SISTEMAS ALGEBRAICOS COMPUTACIONALES
Se ha visto que el uso de tablas requiere comparar la forma del integrando dado con las
formas de los integrandos en las tablas. Las computadoras son particularmente buenas para
comparar patrones. Y, así como se emplearon sustituciones junto con las tablas, un CAS
puede llevar a cabo sustituciones que transforman una integral dada en una que aparece en
sus fórmulas almacenadas. Así, no es sorprendente que los sistemas algebraicos computacionales
sobresalgan en la integración. Eso no significa que la integración a mano sea una
habilidad obsoleta. Se verá que un cálculo manual produce a veces una integral indefinida
en una forma que es más conveniente que la respuesta dada por una máquina.
Para empezar, se verá lo que sucede cuando se pide a la máquina integrar la función
relativamente simple y 13x 2. Con la sustitución u 3x 2, un cálculo fácil a
mano da
y
1
3x 2 dx 1 3 ln 3x 2 C