calculo-de-una-variable-1

336 |||| CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVACIÓN
& Las sucesiones se presentaron de manera
breve en Presentación preliminar del cálculo en
la página 6. En la sección 11.1 se inicia un
análisis más detallado.
Si los números x n se aproximan cada vez más a r cuando n se hace grande, entonces la
sucesión converge a r y se escribe
lím x n r
n l
y
0
x£ x¡
FIGURA 4
r
x
x
| Aun cuando la sucesión de aproximaciones sucesivas converge a la raíz deseada, para
funciones del tipo que se ilustra en la figura 3, en ciertas circunstancias la sucesión puede
no converger. Por ejemplo, considere la situación que se ilustra en la figura 4. Puede
ver que x 2 es una aproximación más deficiente que x 1 . Quizás éste sea el caso cuando
fx 1 este cercana a 0. Incluso podría suceder que una aproximación (como la de x 3 de
la figura 4) caiga fuera del dominio de f. Por lo tanto el método de Newton falla y
debe elegirse una mejor aproximación inicial x 1 . Véanse los ejercicios 31 a 34 en relación
con ejemplos específicos en que el método de Newton funciona con mucha lentitud
o no funciona en absoluto.
V EJEMPLO 1 Empiece con x 1 2, y encuentre la tercera aproximación x 3 para la raíz
de la ecuación x 3 2x 5 0.
SOLUCIÓN Aplique el método de Newton con
f x x 3 2x 5
y
f x 3x 2 2
TEC En Module 4.8 puede
investigar cómo funciona el método de
Newton para diferentes funciones
cuando cambie x 1
El propio Newton utilizó esta ecuación para ilustrar su método y eligió x 1 2 después
de experimentar un tanto porque f1 6, f2 1 y f3 16. La ecuación 2 se
convierte en
x n1 x n x n 3 2x n 5
3x n 2 2
& En la figura 5 se muestra la geometría detrás
del primer paso del método de Newton del
ejemplo 1. Como f 2 10, la recta
tangente y x 3 2x 5 en 2, 1 tiene
una ecuación y 10x 21 de manera que
su intersección x es x 2 2.1.
Con n 1, tiene
En seguida con n 2 obtiene
x 2 x 1 x 1 3 2x 1 5
3x 12 2
2 23 22 5
32 2 2
2.1
1
1.8 2.2
x
x 3 x 2 x 2 3 2x 2 5
3x 22 2
2.1 2.13 22.1 5
32.1 2 2
2.0946
_2
FIGURA 5
y=10x-21
Resulta que esta tercera aproximación x 3 2.0946 es exacta hasta cuatro posiciones
decimales.
Suponga que quiere lograr una exactitud dada, hasta ocho cifras decimales, aplicando
el método de Newton. ¿Cómo sabrá cuándo detenerse? La regla empírica que se usa en general
es parar cuando las aproximaciones sucesivas x n y x n1 concuerdan hasta los ocho
dígitos decimales (posiciones decimales). (En el ejercicio 37 de la sección 11-11 se dará
un enunciado más preciso referente a la exactitud del método de Newton.)
Advierta que el procedimiento al ir de n hacia n 1 es el mismo para todos los valores
de n (se llama proceso iterativo). Esto significa que el método de Newton es en particular
conveniente para una calculadora programable o una computadora.