calculo-de-una-variable-1

704 |||| CAPÍTULO 11 SUCESIONES Y SERIES INFINITAS
9–26 Determine si la serie es convergente o divergente.
9. 2
10.
n 1.4 3n 1.2
n1 n 0.85
n1
11. 1 1 8 1
27 1
64 1
125
12.
13.
14.
5 2sn
15. 16.
17.
18.
ln n
19. 20.
21.
1 1
2s2 1
3s3 1
4s4 1
5s5
1 1 3 1 5 1 7 1 9
1
5 1 8 1
11 1
14 1
17
n1
n1
n1
n2
e 1/n
n1 n 2
22.
23. 24.
25. 1
26.
n 3 n
n1
27–30 Determine los valores de p para los cuales la serie es convergente.
27. 1
28.
nln n p
n2
n 3
n 3
1
n 2 4
1
n ln n
29. 30. ln n
n1 n 2 p
n1
n1 n p
31. La función zeta de Riemann z se define como
x 1
n x
y se usa en teoría de los números para estudiar la distribución
de los números primos. ¿Cuál es el dominio de z?
32. (a) Calcule la suma parcial s 10 de la serie n1 1n 4 . Estime el
error al usar s 10 como una aproximación a la suma de la
serie.
(b) Use (3) con n 10 para conseguir una estimación
mejorada de la suma.
(c) Calcule un valor de n tal que s n no difiera más de 0.00001
del valor de la suma.
n1
n1
n1
n1
n2
n 2
n3 e n
n1
n3
n 2
n 3 1
3n 2
nn 1
1
n 2 4n 5
1
n(1n n) 2
n
n 4 1
1
n ln n lnln n p
CAS
33. (a) Mediante la suma de los primeros 10 términos, estime
la suma de la serie n1 1n 2 . ¿Qué tan buena es la estimación?
(b) Mejore esta estimación usando (3) con n 10.
(c) Encuentre un valor de n que dé la certeza de que el error en
la aproximación s s n es menor que 0.001.
34. Calcule la suma de la serie correcta en tres cifras
decimales.
35. Estime correcta a cinco lugares decimales.
36. ¿Cuántos términos de la serie n2 1nln n 2 se necesitarían
sumar para calcular la suma que no difiera de 0.01?
37. Demuestre que si busca obtener un valor aproximado de la suma
de la serie n1 n 1.001 de modo que el error sea menor de 5
en la novena cifra decimal, en este caso ¡necesita sumar más
de 10 11,301 términos!
38. (a) Demuestre que la serie n1 ln n 2 n 2 es convergente.
(b) Encuentre una cota superior para el error en la aproximación
s s n.
(c) ¿Cuál es el valor más pequeño de n tal que esta cota superior
sea menor que 0.05?
(d) Encuentre s n para este valor de n.
39.
n1 2n 1 6 n1 1n 5
(a) Mediante (4) demuestre que si s n es la n-ésima suma parcial
de la serie armónica, entonces
s n 1 ln n
(b) La serie armónica diverge, pero muy lentamente.
Con ayuda del inciso (a) demuestre que la suma del primer
millón de términos es menor que 15 y que la suma
de los primeros mil millones de términos es
menor que 22.
40. Siga los pasos siguientes para demostrar que la sucesión
t n 1 1 2 1 3 1 n ln n
tiene un límite. (El valor del límite se denota con g y se denomina
constante de Euler.)
(a) Dibuje un diagrama como la figura 6 con fx 1x e interprete
t n como un área, o bien use (5), para demostrar
que t n 0 para toda n.
(b) Interprete
t n t n1 lnn 1 ln n 1
n 1
como una diferencia de áreas para demostrar que
t n t n1 0. Por lo tanto, t n es una sucesión decreciente.
(c) Aplique el teorema de sucesión monótona para demostrar
que t n es convergente.
41. Determine todos los valores positivos de b para los cuales la
serie n1 b ln n converge.
42. Encuentre todos los valores de c para los que converge la siguiente
serie.
n1 c n 1
n 1