calculo-de-una-variable-1

SECCIÓN 8.2 ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN |||| 533
2πr
corte
l
r
¨
l
FIGURA 2
r¡
l¡
¿Qué hay acerca de superficies de revolución más complicadas? Si se sigue la estrategia
que se usó con la longitud de arco, se puede aproximar la curva original mediante un
polígono. Cuando este polígono se hace girar respecto a un eje, crea una superficie más
simple cuya área superficial se aproxima al área superficial real. Si se toma un límite, se
puede determinar el área superficial exacta.
Entonces, la superficie de aproximación consta de varias bandas, cada una formada al
hacer girar un segmento de recta respecto a un eje. Para hallar el área superficial, cada una
de estas bandas puede ser considerada una porción de un cono circular, como se muestra en
la figura 3. El área de la banda (o tronco de cono) con una altura inclinada l y radios superior
e inferior y se encuentra al restar las áreas de dos conos:
r 1
r 2
l
1
A r 2 l 1 l r 1 l 1 r 2 r 1 l 1 r 2 l
r
De triángulos similares se tiene
FIGURA 3
l 1
l 1 l
r 1 r 2
que da
r 2 l 1 r 1 l 1 r 1 l
o bien
r 2 r 1 l 1 r 1 l
Si se escribe esto en la ecuación 1, se obtiene
y
y=ƒ
o bien,
A r 1 l r 2 l
0 x
2
A 2rl
y
P¸
(a) Superficie de revolución
P i-1
P i
P n
0 x
y i
donde r 1 2r 1 r 2 es el radio promedio de la banda.
Ahora se aplica esta fórmula a la estrategia. Considere la superficie mostrada en la figura
4, que se obtiene al hacer girar la curva y f x, a x b, respecto al eje x, donde f
es positiva y tiene una derivada continua. A fin de definir su área superficial, se divide el intervalo
[a, b] en n subintervalos con puntos finales x 0 , x 1 ,..., x n e igual amplitud x, como
se hizo para determinar la longitud de arco. Si y i f x i , entonces el punto P i x i , y i yace
sobre la curva. La parte de la superficie entre x i1 y x i se aproxima al tomar el segmento
de recta P i1 P i y hacerlo girar respecto al eje x. El resultado es una banda con altura inclinada
l P i1P y radio promedio r 1 i
2y i1 y i de modo que, por la fórmula 2, su área
superficial es
FIGURA 4
(b) Banda de aproximación
2 y i1 y i
2
P i1P i