calculo-de-una-variable-1

260 |||| CAPÍTULO 3 REGLAS DE DERIVACIÓN
; (b) Compruebe las gráficas que trazó en el inciso (a) mediante
una calculadora graficadora o de una computadora.
23. Aplique las definiciones de las funciones hiperbólicas para
determinar cada uno de los límites siguientes.
(a)
(c)
(e)
(g)
(i)
24. Demuestre las fórmulas dadas en la tabla 1 para el caso de las
derivadas de las funciones (a) cosh, (b) tanh, (c) csch, (d) sech
y (e) coth.
25. Encuentre otra solución para el ejemplo 3 haciendo
y senh 1 x y luego usando el ejercicio 9 y el ejemplo 1(a) en
donde y reemplaza a x.
26. Demuestre la ecuación 4.
27. Demuestre la ecuación 5 aplicando (a) el método del ejemplo 3
y (b) el ejercicio 18 en donde y reemplaza a x.
28. Para cada una de las funciones siguientes (i) proporcione una
definición como la de (2), (ii) trace la gráfica y (iii) encuentre
una fórmula similar a la ecuación 3.
(a) csch 1 (b) sech 1 (c) coth 1
29. Demuestre las fórmulas dadas en la tabla 6 para las derivadas
de las funciones siguientes.
(a) cosh 1 (b) tanh 1 (c) csch 1
(d) sech 1 (e) coth 1
30–47 Encuentre la derivada.
(b)
(d)
(f)
(h)
30. f x tanh1 e 2x 31.
34. y x coth1 x 2
36. f t csch t1 ln csch t 37. ft sech 2 e t
38. y senhcosh x
39. y arctantanh x
1 tanh x
40. x 4 41. Gx 1 cosh x
1 tanh x
1 cosh x
42. y x 2 senh 1 2x
43. y tanh 1 sx
44. y x tanh 1 x ln s1 x 2
45.
46.
47.
lím tanh x
x l lím senh x
x l lím sech x
x l lím coth x
x l 0
lím csch x
x l
32. tx coshln x
33. hx lncosh x
y x senh 1 x3 s9 x 2
y sech 1 s1 x 2 , x 0
y coth 1 sx 2 1
cosh 3x
y e
48. El Arco Gateway en St. Louis fue diseñado por Eero Saarinen
y fue construido empleando la ecuación.
35.
lím tanh x
x l
lím senh x
x l
lím coth x
x l
lím coth x
x l 0
y 211.49 20.96 cosh 0.03291765x
f x x senh x cosh x
para la curva central del acrco. Donde x y y se miden en metros
y | x | 91.20.
; (a) Grafique la curva central.
(b) ¿Cuál es la altura del arco en su centro?
(c) ¿En qué punto la altura es de 100 m?
(d) ¿Cuál es la pendiente del arco en el punto del inciso (c)?
49. Si las olas con longitud L se mueven con velocidad v en un
cuerpo de agua con profundidad d en tal caso.
v
tL
2p tanh 2pd
L
Donde t es la aceleración debida a la gravedad. (Véase figura 5.)
Explique por que la aproximación
es apropiada en aguas profundas.
; 50. Un cable flexible siempre forma una catenaria
y c a coshxa, donde c y a son constantes y a 0
(véase figura 4 y ejercicio 50). Grafique varios miembros de
la familia de las funciones y a coshxa. ¿Cómo cambia la
gráfica cuando a varía?
51. Un cable de teléfono cuelga entre dos postes que están
separados entre sí 14 metros y forma una catenaria
y 20 coshx20 15, donde x y y se miden en metros.
(a) Encuentre la pendiente de esta curva donde se encuentra
con el poste derecho.
(b) Calcule el ángulo u entre el cable y el poste.
52. Mediante los principios de la física se puede demostrar que
cuando un cable cuelga entre dos postes toma la forma de una
curva y f x que cumple con la ecuación diferencial
d 2 y
dx 2
v tL
2p
t
T1
dx
dy 2
donde r es la densidad lineal del cable, t es la aceleración de la
gravedad y T es la tensión del cable en su punto más bajo. El
sistema coordenado se elige en forma adecuada. Compruebe
que la función
y f x T
t cosh
tx
T
es una solución de esta ecuación diferencial.
y
5
_7 0 7 x
¨