calculo-de-una-variable-1

A36 |||| APÉNDICE E NOTACIÓN SIGMA
SOLUCIÓN 1 Sea S la suma deseada. Empezamos con la suma extensible (o suma de
reducción):
Casi todos los términos se cancelan en pares.
n
1 i 3 i 3 2 3 1 3 3 3 2 3 4 3 3 3 n 1 3 n 3
i1
n 1 3 1 3 n 3 3n 2 3n
Por otra parte, usando el teorema y los ejemplos 3 y 4, tiene
Así, tiene
n
1 i 3 i 3 n
3i 2 3i 1 3 n
i 2 3 n
i n
1
i1
i1
i1
i1 i1
3S 3
Al despejar S de esta ecuación, obtiene
nn 1
2
n 3 3n 2 3n 3S 3 2n 2 5 2n
n 3S 3 2n 2 5 2 n
3S n 3 3 2n 2 1 2n
o
S 2n 3 3n 2 n
6
nn 12n 1
6
& PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA
Sea S n un enunciado donde aparezca el entero
positivo n. Suponga que
1. S 1 es verdadera
2. Si S k es verdadero, entonces S k1 es
verdadero.
Entonces S n es verdadera para todos los enteros
positivos n.
& Para un examen más completo sobre
inducción matemática, vea las páginas 77 y 80.
SOLUCIÓN 2 Sea S n la fórmula dada.
1. S 1 es verdadera porque
2. Suponga que S k es verdadera; es decir,
Entonces
1 2 2 2 3 2 k 1 2 1 2 2 2 3 2 k 2 k 1 2
Por lo tanto,
1 2 2 2 3 2 k 2
S k1
1 2
es verdadera
11 12 1 1
6
k 1
k 1 2k 2 7k 6
6
kk 12k 1
6
kk 12k 1
6
k2k 1 6k 1
6
k 1k 22k 3
6
k 1 2
k 1k 1 12k 1 1
6
Por el principio de inducción matemática, S n es verdadera para toda n.