calculo-de-una-variable-1

630 |||| CAPÍTULO 10 ECUACIONES PARAMÉTRICAS Y COORDENADAS POLARES
3. Ahora pruebe b 1 y a n/d, una fracción donde n y d no tienen factor común. Primero
sea n 1 e intente determinar gráficamente el efecto del denominador d en la forma
de la gráfica. Entonces n varía mientras se mantiene a d constante. ¿Qué sucede cuando
n d 1?
4. ¿Qué sucede si b 1 y a es irracional? Experimente con un número irracional como 2 o
e 2. Tome valores cada vez más grandes para u y especule acerca de lo que sucedería si
se graficara la hipocicloide para todos los valores reales de u.
5. Si el círculo C rueda en el exterior del círculo fijo, la curva trazada por P se llama epicicloide.
Encuentre ecuaciones paramétricas para la epicicloide.
6. Investigue las formas posibles para epicicloides. Use métodos similares para los
problemas 2–4.
10.2
CÁLCULO CON CURVAS PARAMÉTRICAS
Una vez visto cómo representar ecuaciones paramétricas, ahora se aplican métodos de
cálculo a estas curvas paramétricas. En particular, se resuelven problemas relacionados con
tangentes, área, longitud de arco y área de superficie.
TANGENTES
En la sección anterior se vio que algunas curvas definidas por ecuaciones paramétricas
x f t y y tt se pueden expresar también, al eliminar el parámetro, en la forma y Fx.
Véase en el ejercicio 67 las condiciones generales bajo las que esto es posible. Si se
sustituye x f t y y tt en la ecuación y Fx, se obtiene
tt Ff t
y, de esa manera, si t, F y f son derivables, la regla de la cadena da
Si f t 0, se puede resolver Fx:
tt Ff tf t Fxf t
1
Fx tt
f t
Puesto que la pendiente de la tangente a la curva y Fx en x, Fx es Fx, la ecuación
1 permite hallar tangentes a curvas paramétricas sin tener que eliminar el parámetro.
Si se emplea la notación de Leibniz, se puede reescribir la ecuación 1 en una forma que se
recuerda con facilidad:
& Si se considera que una curva paramétrica
es trazada por una partícula móvil, en tal caso
dydt y dxdt son las velocidades vertical y
horizontal de la partícula, y la fórmula 2 dice
que la pendiente de la tangente es la relación
de estas velocidades.
2
dy
dy
dx dt
dx
dt
si
dx
dt 0
Se puede ver de la ecuación 2 que la curva tiene una tangente horizontal cuando
dydt 0 siempre que dxdt 0 y tiene una tangente vertical cuando dxdt 0 (tomando
en cuenta que dydt 0). Esta información es útil para bosquejar curvas paramétricas.